שלום לכולם, נתונה השאלה הבאה:
בציור צלע המלבן מחולקת ל-4 חלקים שווים.
א. מהו היחס בין שטחי המשולשים הלבנים?
ב. מהו היחס בין שטחי המשולשים הכחולים?
ג. מהו היחס בין השטח הכחול לבין השטח הלבן?
אשמח לעזרה עם התרגיל, תודה רבה.
למען הנוחות, נוסיף אותיות לתרשים:
תחילה, נחשב את היחס בין השטחים הלבנים.
נסמן ב-x את כל אחד מארבעת החלקים של הצלע שחולקה. לכן בעזרת סכום צלעות נקבל:
FC=FG+GC=x+x=2x
כמו כן, נסמן ב-y את גודל הצלע DC. במלבן הצלעות הנגדיות שוות ולכן AB=y.
נחשב את שטח המשולש \triangle DFC:
S_{\triangle DFC}=\frac{FC\cdot DC}{2}=\frac{(2x)\cdot y}{2}=x\cdot y
נחשב את שטח המשולש \triangle AEF:
S_{\triangle AEF}=\frac{AB\cdot EF}{2}=\frac{y\cdot x}{2}
לכן, היחס בין שטח המשולש הלבן \triangle DFC לבין שטח המשולש \triangle AEF הוא:
\frac{S_{\triangle DFC}}{S_{\triangle AEF}}=\frac{x\cdot y}{0.5(x\cdot y)}=2
כלומר, שטח המשולש הלבן \triangle DFC גדול פי 2 משטח המשולש הלבן \triangle AEF.
עתה, נחשב את היחס בין השטחים הכחולים. ע"פ סכום צלעות נקבל:
BC=BE+EF+FG+GC=x+x+x+x=4x
במלבן, הצלעות הנגדיות שוות ולכן AD=BC=4x. נוריד גובה מהנקודה F לבסיס המשולש \triangle AFD ונסמן את נקודת החיתוך ב-H. המרובע ABFH הוא כמובן מלבן ולכן בפרט מתקיים HF=AB=y.
נחשב את שטח המשולש \triangle AFD:
S_{\triangle AFD}=\frac{AD\cdot FH}{2}=\frac{(4x)\cdot y}{2}=2x\cdot y
נחשב את שטח המשולש \triangle ABE:
S_{\triangle ABE}=\frac{AB\cdot BE}{2}=\frac{y\cdot x}{2}
לכן, היחס בין שטח המשולש הכחול \triangle AFD לבין שטח המשולש הכחול \triangle ABE הוא:
\frac{S_{\triangle AFD}}{S_{\triangle ABE}}=\frac{2x\cdot y}{0.5(x\cdot y)}=4
כלומר, שטח המשולש הכחול \triangle AFD גדול פי 4 משטח המשולש הכחול \triangle ABE.
כעת, נחשב את היחס בין השטח הכחול לבין השטח הלבן.
נחשב את השטח הכחול:
S_{blue}=S_{\triangle AFD}+S_{\triangle ABE}=2x\cdot y+\frac{x\cdot y}{2}=\frac{5x\cdot y}{2}
נחשב את השטח הלבן:
S_{white}=S_{\triangle AEF}+S_{\triangle DFC}=\frac{x\cdot y}{2}+x\cdot y=\frac{3x\cdot y}{2}
לכן היחס בין השטח הכחול לבין השטח הלבן הוא:
\frac{S_{blue}}{S_{white}}=\frac{2.5(x\cdot y)}{1.5(x\cdot y)}=\frac{5}{3}
כלומר השטח הכחול גדול פי \frac{5}{3} מהשטח הלבן.
מקווה שמובן, בהצלחה.