הוכחה של משפט רול

שלום לכולם, כיצד להוכיח את משפט רול?
משפט רול (Rolle) - תהי f פונקציה רציפה בקטע סגור [a,b] וגזירה בקטע הפתוח (a,b). אם f(a)=f(b) אז קיימת נקודה c בקטע הפתוח (a,b) שבה מתקיים f'(c)=0.
כיצד להוכיח את המשפט?
תודה רבה על העזרה.

תהי f פונקציה רציפה בקטע סגור [a,b] וגזירה בקטע הפתוח (a,b) כך שמתקיים f(a)=f(b). לכן ע"פ המשפט השני של ויירשטראס, לפונקציה f יש מינימום ומקסימום בקטע.
נסמן את המינימום באופן הבא:

m=\min f\left([a,b]\right)

נסמן את המקסימום באופן הבא:

M=\max f\left([a,b]\right)

נפריד לשני מקרים - במקרה הראשון מתקיים m=M. במקרה זה, לכל x\in[a,b] מתקיים m\leq f(x)\leq M ולכן f(x)=M. לפיכך נובע כי f היא פונקציה קבועה בקטע [a,b] ומתקיים f'(c)=0 לכל c\in (a,b) שנבחר.

במקרה השני מתקיים m\neq M. במקרה זה, נסמן ב-x_1 את נקודת המינימום של f בקטע וב-x_2 את נקודת המקסימום בקטע. לכן מתקיים f(x_1)=m וגם f(x_2)=M. לפיכך נקבל f(x_1)\neq f(x_2). נקודות הקצה של הקטע [a,b] הן a ו-b. מאחר ומתקיים f(a)=f(b) נובע כי לא ייתכן שגם x_1 וגם x_2 הן נקודות קצה של הקטע [a,b]. מכך נובע כי לפחות אחת מבין הנקודות x_1 ו-x_2 אינה נקודת קצה של הקטע [a,b] ולכן היא נקודת פנימית. קיבלנו שקיימת נקודה c\in (a,b) שהיא נקודת מינימום או מקסימום של f. נקודה זו היא נקודת קיצון של f (הפונקציה f גזירה בכל נקודה בקטע (a,b) ולכן בפרט בנקודה c) ולכן ע"פ משפט פרמה מתקיים f'(c)=0.
הוכחנו כי בכל מקרה קיימת נקודה c\in(a,b) כך שמתקיים f'(c)=0, כנדרש.