היי אשמח לעזרה בשאלה:
יהיה V מרחב וקטורי של מטריצות אנטי סימטריות 4\times 4 עם רכיבים ממשיים:
V=\left\{ A\in M_{4x4}(\mathbb{R})| A^{t}= -A\right\}
מצאו בסיס ומימד של V.
הכלילו את התוצאה עבור n טבעי (במקום 4).
כל מטריצה אנטי-סימטרית 4\times 4 מעל הממשיים היא מהצורה:
A=
\begin{pmatrix}
0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
-a_{21} & 0 & a_{23} & a_{24} \\
-a_{31} & -a_{32} & 0 & a_{34} \\
-a_{41} & -a_{42} & -a_{43} & 0 \\
\end{pmatrix}
כאשר a_{ij}\in\mathbb{R}.
נגדיר מטריצת יחיד E_{i,j} להיות מסדר 4\times 4 שבה כל האיברים מכילים 0, פרט ל-(i,j) שבו יש 1. כל ה-16 מטריצות הנ"ל הן הבסיס של M_{4,4}(\mathbb{R}), מרחב המטריצות מסדר 4\times 4 מעל הממשיים. כעת, נוכל לבנות בסיס מהצורה:
B=\left\{ B_{12}, B_{13}, B_{14}, B_{23}, B_{24}, B_{34}\right\}
כאשר מתקיים:
B_{ij} = E_{ij} - E_{ji}
לדוגמה, כדי שיהיה יותר ברור:
B_{12} = E_{12} - E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0
& 0 & 0\end{pmatrix}
לכן נקבל:
A= a_{12} B_{12} + a_{13} B_{13} + a_{14} B_{14} + a_{23} B_{23}+a_{24} B_{24} +a_{34} B_{34}
מכך נובע כי B היא קבוצה פורשת של V, כלומר מתקיים V=Span\,B. נותר להראות כי B הוא בסיס של V. זה די ברור כי ששת המטריצות בתוך הקבוצה B הן בלתי תלויות לינאריות ולכן B הוא בסיס של V. כמו כן, הממד של מרחב וקטורי הוא מספר האיברים בבסיס של המרחב ולכן הממד של המרחב V הוא 6.
כעת נכליל את התוצאה עבור n\in\mathbb{N} כלשהו. כל מטריצה אנטי-סימטרית n\times n מעל הממשיים היא מהצורה:
A = \begin{pmatrix}
0& a_{12} & a_{13} & a_{14}& \cdots \\
-a_{21}&0& a_{23}& a_{24}& \\
-a_{31}&a_{32}& 0& a_{34}& \\
-a_{41}&a_{42}& a_{43}& 0& \\
\vdots&&&&\ddots
\end{pmatrix}
כאשר a_{ij}\in\mathbb{R} לכל i,j\in\mathbb{N}. נבנה בסיס מהצורה:
B=\left\{B_{ij}\,|\,i,j\in\mathbb{N}\wedge i< j\right\}
לכן נקבל:
A=\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j-1} a_{i,j}B_{i,j}
מכך נובע כי B היא קבוצה פורשת של V, כלומר מתקיים V=Span\,B. נותר להראות כי B הוא בסיס של V. זה די ברור כי כל המטריצות בתוך הקבוצה B הן בלתי תלויות לינאריות ולכן B הוא בסיס של V (ניתן גם להוכיח באינדוקציה). כמו כן, הממד של מרחב וקטורי הוא מספר האיברים בבסיס של המרחב ולכן נחשב את הכמות. כדי לבחור את j יש n אפשרויות. מאחר ומתקיים i<j אזי נובע לכך כי ל-i יש n-1 אפשרויות. אנו מעוניינים באיברים רק מהצורה (i,j) ולכן עלינו להוריד את כל האיברים מהצורה (j,i), כלומר נחלק ב-2. סה"כ נקבל כי הממד הוא:
\dim V=\frac{n(n-1)}{2}
נציב n=4, כדי לוודא את תשובתינו הקודמת:
\dim V=\frac{4(4-1)}{2}=6
מקווה שמובן, בהצלחה.