למצוא בסיס ומימד של מרחב מטריצות

מתמטיקה
1

אני קצת מתקשה לפתור את התרגיל , אשמח לעזרה

יהי W תת מרחב הבא של מטריצות 2\times 2 עם רכיבים ממשיים :

W = \left \{ \left.\begin{matrix} \end{matrix}\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}\right|a\in \mathbb{R} , b\in \mathbb{R} \right \}

(א) מצאו בסיס ומימד של W.
(ב) נגדיר העתקה מ- W ל- \mathbb{R} באופן הבא:

f\left ( \begin{bmatrix} a & b\\ b & a \end{bmatrix} \right )= a-b

הוכיחו כי מתקיים f(PQ)=f(P)f(Q) עבור כל Q\in W, P\in W (כמובן הכפל באגף שמאל הוא כפל מטריצות על פי ההגדרה שלמדנו , הכפל באגף ימין הוא כפל מספרים ממשיים).

2

א. נשים לב כי מתקיים:

\begin{align*} W &= \left \{ \begin{bmatrix} a & b\\ b & a \end{bmatrix} \bigg| a,b\in\mathbb{R} \right\}\\ &= \left \{ a\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} + b\cdot\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \bigg| a,b\in\mathbb{R} \right\}\\ &= Sp\left \{ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right\} \end{align*}

כלומר הקבוצה B, אשר מוגדרת באופן הבא:

B=\left \{ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right\}

היא קבוצה פורשת של W. כמובן ששני האיברים בקבוצה B הם בת"ל ולכן הם מהווים בסיס של W. לפיכך נובע כי המימד של W הוא 2.

ב. יהיו Q\in W ו-P\in W. לכן קיימים q_1,q_2\in\mathbb{R} ו-p_1,p_2\in\mathbb{R} כך שמתקיים:

P=\begin{bmatrix} p_1 & p_2\\ p_2 & p_1 \end{bmatrix}, Q=\begin{bmatrix} q_1 & q_2\\ q_2 & q_1 \end{bmatrix}

נוכיח כי מתקיים f(PQ)=f(P)f(Q). נשים לב כי מצד אחד מתקיים:

\begin{align*} f(PQ)&=f\left(\begin{bmatrix} p_1\cdot q_1+p_2\cdot q_2 & p_2\cdot q_1+p_1\cdot q_2 \\ p_2\cdot q_1+p_1\cdot q_2 & p_1\cdot q_1+p_2\cdot q_2 \end{bmatrix}\right) \\ &= (p_1\cdot q_1+p_2\cdot q_2)-( p_2\cdot q_1+p_1\cdot q_2)\\ &=p_1\cdot q_1-p_1\cdot q_2 -p_2q_1+p_2q_2 \\ & =(p_1-p_2)(q_1-q_2)=f(P)f(Q) \end{align*}

כנדרש.