נתון שקיימים שתי משתנים Y ו-X בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות גיאומטרית p,
אני מנסה להבין למה מתקיים:
P(X-Y=j)+P(Y-X=j)=2P(X-Y=j)
ואני לא מצליח להבין את זה, למה זה מתקיים?
והאם זה משהו ייחודי להתפלגות גיאומטרית?
יהי T:=\{(r,s)\in\mathbb Z^2\mid r-s=j\}. לכן מתקיים:
\begin{aligned}P(X-Y=j) & =\sum_{(r,s)\in T}P(X=r)P(Y=s)\\
& =\sum_{(r,s)\in T}P(Y=r)P(X=s)\\
& =P(Y-X=j)
\end{aligned}
אנחנו יכולים לעבור ממ"מ Y ו-X כי הם בעלי אותה התפלגות. מכך נובע כי מתקיים:
P(X-Y=j)+P(Y-X=j)=2P(X-Y=j)
כמו כן, הטענה נכונה גם עבור התפלגויות אחרות, כלומר היא אינה ייחודית להתפלגות הגיאומטרית.
בהצלחה.