האם לגרף שגרף התשתית שלו הוא קליקה יש שורש?

שלום לכולם, אני קצת תקוע עם השאלה הבאה:

הגרף המלא (הנקרא גם קליקה) הוא גרף לא מכוון, סופי ופשוט שמכיל את כל הקשתות האפשריות. יהי G=(V,E) גרף סופי ומכוון שגרף התשתית שלו הוא קליקה.
הוכיחו או הפריכו: לגרף G יש בהכרח שורש.

אני חושב שהטענה נכונה אבל לא מצליח להבין כיצד להוכיח אותה. אשמח להכוונה.

נניח בשלילה שבגרף G אין שורש. נגדיר לכל צומת את הדרגה שלו ב-r(v) כמספר הצמתים הנגישים ממנו במסלול מכוון. לכן ע"פ הנחת השלילה, נוכל להסיק כי מתקיים: r(v)\leq n-1. מאחר וגרף G הוא סופי, נוכל להסיק כי קיים צומת u בעל הדרגה המקסימלית. כמו כן, נוכל להסיק כי קיים צומת v כך שאין מסלול מ-u ל-v ולכן בפרט לא קיימת הקשת u\to v. מאחר והגרף הוא טורניר, נוכל להסיק כי לכל זוג צמתים יש קשת אחת בדיוק ביניהם ולכן קיימת הקשת v\to u. לפיכך, נוכל להסיק כי מתקיים:

r(v)\geq r(u)+1\geq r(u)

קיבלנו סתירה למקסימליות של r(u). לכן בכל בגרף G בהכרח קיים שורש, כנדרש.