יהי \mathbb{F} שדה סופי בעל שני איברים 0 ו-1.
כמה תתי מרחבים U של M_{2\times 2}(\mathbb{F}) מקיימים את הדרישות הבאות?
- המימד של U מקיים \dim U=2.
- כל מטריצה השייכת ל-U, פרט למטריצת האפס, הינה מטריצה הפיכה.
תודה רבה על העזרה.
נדרוש כי המימד של U הוא 2. יהיו A ו-B מטריצות בלתי תלויות לינארית הנמצאת ב-U. לכן קיימים a,b,\ldots,h\in\{0,1\} כך שמתקיים:
A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}
e & f \\
g & h
\end{pmatrix}
שתיהן אינן מטריצות האפס. ע"פ הדרישה השנייה נובע כי A ו-B הן מטריצות הפיכות. מכך נובע כי העמודות והשורות של כל אחת מהמטריצות הן בלתי תלויות לינארית. מאחר ומדובר בשדה המכיל שני איברים נובע כי קיימות שש מטריצות הפיכות מסדר 2\times 2 מעל שדה \mathbb{F}:
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
כאמור, עלינו למצוא זוג מטריצות A ו-B שהן בלתי תלויות לינארית אחת בשנייה. לכן כל שנותר לעשות הוא לעבור על ששת המטריצות הנ"ל ולמצוא זוגות בת"ל.