חקירת פונקציה מטיפוס פולינום

[marbd]

שלום לכולם, אשמח לעזרה בחישוב תרגיל חקירה של הפונקציה מסוג פולינום.
נתונה הפונקציה הבאה: y= x^{4}-6x^{3}+9x^{2}.
פתרו את הסעיפים הבאים:

1. מצא את תחום הגדרה של הפונקציה הנתונה.
2. מצא את נקודות הקיצון וסוגם של הפונקציה הנתונה.
3. מצא את נקודות החיתוך עם הצירים.
4. מצא את תחומי העלייה וירידה.

אשמח לעזרה בסעיף 2 ובסעיף 4.
תודה לכולם

[lambda]

לגבי סעיף 2: צריך בסך הכל לגזור ולהשוות לאפס כדי למצוא נקודות חשודות בקיצון. כלומר y'=4x^3-18x^2+18x=x(4x^2-18x+18)=0.
מכאן x=0 או x=1.5 או x=3 כאשר שתי הפתרונות האחרונים מתקבלים מפתרון משוואה ריבועית.

נעזר במבחן הנגזרת השנייה לקביעת סוג הנקודות: y''=12x^2-36x+18 ולכן

\begin{cases} y''(0)=18>0\implies \min \\ y''(1.5)=-9<0\implies \max \\ y''(3)=18>0\implies \max \end{cases}

נשאר רק למצוא את ערכי ה-y.

לגבי סעיף 4: נעזר במה שאנחנו יודעים על נקודות קיצון. נקודת מינימום היא נקודה שלפניה הפונקציה ירדה, ואחריה עלתה. נוכל כך לקבוע למשל, שהפונקציה ירדה בתחום x<0 ועלתה (לזמן מסויים לפחות) בתחום x>0. תוכל להמשיך?