מה ההסתברות שלכל אורח יש מגף ימני ומגף שמאלי?

מתמטיקה
1

שלום לכולם, אני נבחן במבחן בהסתברות בקרוב ונתקעתי בשאלה הבאה:

למסיבה חורפית הוזמנו n אורחים. כל אחד מהם נעל מגפיים, והסיר את המגפיים בכניסה למסיבה. בתום המסיבה כל אחד מהם בחר שני מגפיים באופן מקרי. מה ההסתברות שלכל אורח יש מגף ימני ומגף שמאלי?
הניחו כי לכל השמה של 2n המגפיים ל-n האורחים (2 לכל אורח), סיכוי שווה להתקבל.

אשמח לעזרה עם השאלה הנ"ל.
תודה רבה.

2

נמספר את המגפיים מ-1 ועד 2n. ניתן לתאר את מרחב המדגם כאוסף כל החלוקות האפשרויות של 2n מגפיים ל-n זוגות שונים. נסדר את 2n הנעליים בשורה ב-(2n)! אפשרויות. כל זוג מגפיים לפי הסדר, ילכו לאורח אחד מתוך ה-n אנשים. בצורה זו קבענו סדר (פנימי) בין הנעליים ולכן נחלק ב-2! לכל n הזוגות. סה"כ נקבל כי מספר האפשרויות לחלוקה של 2n מגפיים בין n אורחים הוא:

|\varOmega|=\frac{(2n)!}{2^{n}}

נגדיר מאורע A להיות המקרה בו כל אורח קיבל מגף ימין ומגף שמאל. נסדר את n המגפיים הימניים בשורה ב-n! אפשרויות. לכל חלוקה כזאת, נסדר את n המגפיים השמאליים ב-n! אפשרויות. לכן, ע"פ עקרון הכפל נוכל להסיק כי מתקיים:

|A|=(n!)^{2}

מאחר ומדובר במרחב שווה הסתברות, נוכל להסיק כי מתקיים:

P(A)=\frac{|A|}{|\varOmega|}=\frac{2^{n}\cdot(n!)^{2}}{(2n)!}

כלומר ההסתברות המבוקשת הינה \frac{2^{n}\cdot(n!)^{2}}{(2n)!}.
בהצלחה.