שלום רב,
אשמח לעזרה בפתרון התרגיל הבא:
צריך להראות כי לא קיימת פונקציה f גזירה על כל הישר, כך שלכל המספר ממשי a, למשוואה f=a יש בדיוק שני פתרונות.
תודה לעוזרים!
יהיו x_1 ו-x_2 כך שמתקיים f(x_1) = f(x_2) וגם x_1<x_2. יהי x_3 המקסימום של f בקטע [x_1, x_2]. יהי x_4 ערך כלשהו בקטע (x_1, x_3). כמו כן, קיים x_5 בקטע (x_3, x_2) כך שמתקיים f(x_4) = f(x_5). מכך נובע כי חייב להיות ערך x_6 כך שמתקיים f(x_3) = f(x_6). אולם x_6 לא יכול להיות ב-[x_1, x_2]. זה אומר כי f חייב נע בין f(x_2) ל-f(x_6) מחוץ ל-[x_1, x_2]. מאחר ו-f(x_3) נמצא בין f(x_2) לבין f(x_6), f חייב להיות שווה ל- f(x_3 מחוץ ל- [x_1, x_2]. אבל זה אומר שיש ל-f שלוש נקודות שבהם f הוא f(x_3).
היי 
למה x_6 לא יכולה להיות בקטע [x_1,x_2]?
ואיפה נמצאת הנקודה השלישית שערכה f(x_3) ?