שלום לכולם, אני מנסה לחשב את הגבול הבא:
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\int_{1}^{x}\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{t}}\right)dt
אולם, אינני מצליח לפתור אותו.
אשמח להכוונה, תודה רבה.
אפשר לשים לב כי מתקיים h-h^2/2 < \ln(1+h) < h עבור 0<h<1 ולכן נקבל:
\frac{1}{\sqrt t} -\frac{1}{2t} < \ln\left(1+\frac{1}{\sqrt t}\right) <\frac{1}{\sqrt t}
עבור t>1. נחשב את האינטגרל מצד שמאל:
\int_1^x\left(\frac{1}{\sqrt t} -\frac{1}{2t} \right )dt=2\sqrt{x}-0.5\ln(x)-2
נחשב את האינטגרל מצד ימין:
\int_1^x\left(\frac{1}{\sqrt t} \right )dt=2\sqrt{x}-2
לכן, הגבול מצד שמאל הינו:
\begin{align*}
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}} \int_1^x\left(\frac{1}{\sqrt t} -\frac{1}{2t} \right )dt&=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}} (2\sqrt{x}-0.5\ln(x)-2)\\
&=\lim_{x\to\infty} \left(2-0.5\cdot\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\\
&=2-0-0=2
\end{align*}
כמו כן, הגבול מצד ימין הינו:
\begin{align*}
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}} \int_1^x\left(\frac{1}{\sqrt t} \right )dt&=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}} (2\sqrt{x}-2)\\
&=\lim_{x\to\infty} \left(2-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\\
&=2-0=2
\end{align*}
לכן ע"פ משפט הסנדוויץ נובע כי הגבול המבוקש הוא 2.
מקווה שמובן, בהצלחה!