להוכיח כי יש אינסוף גבולות חלקיים של סדרה

מתמטיקה
1

תגידו נכון בנושא של אינסוף גבולות חלקיים של סדרה.

יש לי דוגמאות לסדרות שבהם רואים אינטואיבית שיש להן אינסוף גבולות חלקיים. איך להוכיח שכך הדבר ואיך להביע ולחשב את הגבולות החלקיים של הסדרות?
לדוגמא נתונה הסדרה הבא:

1,1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},1,\ldots

אינטואיטיבית אני רואה שהגבול החלקי מוכל ב-\frac{1}{n}. כמו כן, אינטואיטיבית אני רואה שבעצם בגלל שבסדרה יש מספרים שחוזרים על עצמם אינסוף פעמים אז הם הגבולות החלקיים של הסדרה. יותר מזה לא עולה לי שום רעיון איך להוכיח. האם לקבוע בעצם כל פעם אפסילונים שונים עד אפסילון שיהיה שווה ל- \frac{1}{k}?

2

תהי סדרה \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, ותהי תת-סדרה עולה \{n_r\}_{r=1}^{\infty}\subseteq \mathbb{N}. אזי \{x_{n_r}\}_{r=1}^{\infty} הינה תת-סדרה של x_n.
גבול של x_{n_r} כזו נקרא גבול חלקי. לכן, כל שנדרש כדי להוכיח פורמלית גבול חלקי של סדרה הוא להראות קיום גבול, שזה קל.

למשל: ניקח x_n = (-1)^n, כלומר x_n= -1,1,-1,1,-1,1,..... נרצה להוכיח פורמלית ש-1 גבול חלקי שלה.
נסתכל על סדרת האינדקסים n_r = 2r. מתקיים x_{n_r}=x_{2r}=(-1)^{2r} = 1 ואכן מתקיים 1\xrightarrow{r\to \infty}1 זהותית.