שלום לכולם, מדוע משתמשים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי בפונקציית סינוס וכדומה ברדיאנים ולא בזוויות בהמדדות במעלות?
תודה רבה על העזרה.
רדיאן הוא יחידת מידה חסרת ממד למדידת זוויות. קיימות סיבות רבות למה להשתמש ברדיאנים במקום מעלות בחשבון אינפיטיסמלי. אחת הסיבות היא נוחות שכן זה מוביל לזהות הפשוטה הבאה:
\lim_{h\to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1
או במילים אחרות: "עבור h-ים קטנים מתקיים \sin h \approx h". זהות זו מהווה בסיס לזהויות רבות במתמטיקה, לדוגמה נוסחאות הגזירה של הפונקציות הטריגונומטריות:
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad
\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x
נקבעות בעזרת ההגדרה:
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(0 + h) - \sin(0)}{h}
במידה והזווית הייתה נמדדת במעלות ולא ברדיאנים, הגבול והנגזרות היו כוללים פקטור תיקון שהיה מסרבל מעט את הנוסחאות. אולם פקטור תיקון זה נעלם כאשר משתמשים ברדיאנים.
בהמשך לדוגמה הקודמת, במידה והיינו משתמשים במעלות היינו מקבלים את הנגזרות:
(\sin^\circ)' = \frac{\pi}{180} \cos^\circ,\qquad (\cos^\circ)' = -\frac{\pi}{180} \sin^\circ
תודה על השאלה החשובה הזאת.
מקווה שהיא עונה על שאלתך 