הנקודה P היא מפגש האלכסונים במלבן ABCD. הקטע MT עובר דרך הנקודה P. כמו כן, MT מאונך ל-BD.
א. הוכיחו כי המרובע MBTD הוא מעויין.
ב. נתון DM חוצה זווית \angle AMT. הוכיחו כי מתקיים \angle CBT=30^{\circ}.
שרטוט:
שלום לכולם, הסתבכתי עם הסעיף השני. לא מצליח להוכיח שגודל הזווית הוא שלושים מעלות.
אשמח להכוונה כיצד להוכיח זאת.
תודה רבה על העזרה.
למען הסדר הטוב, אוכיח גם את סעיף א’.
הוכחה של סעיף א’:
במלבן האלכסונים חוצים זה את זה ולכן מאחר והנקודה P הינה מפגש האלכסונים נובע DP=PB. כמו כן, נתון כי MT מאונך ל-BD. אם במשולש התיכון לבסיס מתלכד עם הגובה אזי הוא משולש שווה שוקיים ולכן משולש MDB הוא משולש שווה שוקיים ולכן MD=MB. בעזרת חפיפה ניתן להוכיח כי מתקיים MP=PT. כל מרובע בו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית. לכן מרובע MBTD הוא מקבילית. מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין. לכן מרובע MBTD הוא מעויין.
הוכחה של סעיף ב’:
נסמן: \angle AMD=\alpha. נתון כי צלע DM חוצה את הזווית \angle AMT ולכן \angle DMT=\alpha. המשולש DMB הוא כאמור משולש שווה שוקים. במשולש שווה שוקיים, הגובה מתלכד עם התיכון לבסיס וחוצה זווית הראש ולכן נקבל \angle DMT=\angle TMB=\alpha. הזווית \angle AMB היא זווית שטוחה ולכן גודלה 180 מעלות. מכך נובע ע"פ סכום זוויות:
כלומר \alpha=60^{\circ}. ע"פ סכום זוויות במשולש MTB נקבל כי גודלה של הזווית \angle MBT הוא 60 מעלות. במלבן הזוויות ישרות ולכן הזווית \angle B היא ישרה. מכך נובע ע"פ חיסור זוויות:
כנדרש.