מפגש אלכסונים במלבן ומעויין

מתמטיקה
2

למען הסדר הטוב, אוכיח גם את סעיף א’.
הוכחה של סעיף א’:
במלבן האלכסונים חוצים זה את זה ולכן מאחר והנקודה P הינה מפגש האלכסונים נובע DP=PB. כמו כן, נתון כי MT מאונך ל-BD. אם במשולש התיכון לבסיס מתלכד עם הגובה אזי הוא משולש שווה שוקיים ולכן משולש MDB הוא משולש שווה שוקיים ולכן MD=MB. בעזרת חפיפה ניתן להוכיח כי מתקיים MP=PT. כל מרובע בו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית. לכן מרובע MBTD הוא מקבילית. מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין. לכן מרובע MBTD הוא מעויין.

הוכחה של סעיף ב’:
נסמן: \angle AMD=\alpha. נתון כי צלע DM חוצה את הזווית \angle AMT ולכן \angle DMT=\alpha. המשולש DMB הוא כאמור משולש שווה שוקים. במשולש שווה שוקיים, הגובה מתלכד עם התיכון לבסיס וחוצה זווית הראש ולכן נקבל \angle DMT=\angle TMB=\alpha. הזווית \angle AMB היא זווית שטוחה ולכן גודלה 180 מעלות. מכך נובע ע"פ סכום זוויות:

\angle AMD + \angle DMT+\angle TMB=\alpha+\alpha+\alpha=180^{\circ}

כלומר \alpha=60^{\circ}. ע"פ סכום זוויות במשולש MTB נקבל כי גודלה של הזווית \angle MBT הוא 60 מעלות. במלבן הזוויות ישרות ולכן הזווית \angle B היא ישרה. מכך נובע ע"פ חיסור זוויות:

\angle CBT=\angle B-\angle TBM=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}

כנדרש.