marbd
4 בספטמבר, 2019, 6:08pm
1
שלום לכולם, אני יודע שהאינטגרל של אקספוננט כאשר המעריך הוא פולינום הינו:
\int e^{mx+n}dx=\frac{1}{m}\cdot e^{mx+n}
אבל אני לא מצליח להבין מה האינטגרל של אקספוננט כאשר המעריך הוא סינוס של פולינום:
\int e^{sin(mx+n)}dx
כיצד עלי לחשב אותו?
אני לא חושב שיש דרך אלמנטרית לפתור אינטגרל כזה.
Zeta
5 בספטמבר, 2019, 1:48pm
3
זה לא מדויק. יש דרך לפשט את האינטגרל, אבל לא מצופה מאף תלמיד תיכון לדעת כיצד לעשות זאת במסגרת הלימודים (אולם תמיד טוב להכיר כלים חדשים). לא ניתן להגיע לנוסחה סגורה עבור האינטגרל המבוקש אבל אפשר להשתמש בטורי טיילור לשם כך.\int e^{\sin x}\mathrm dx :
\int e^{\sin x}\mathrm dx=\int\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{\sin^k(x)}{k!}\right)\mathrm dx=\sum_{k=0}^\infty\left(\int\frac{\sin^k(x)}{k!}\mathrm dx\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\left(\int\sin^k(x)\mathrm dx\right)
עתה, נחזור לאינטגרל המבוקש. נסמן:
I=\int e^{\sin(mx+n)}\,dx
כמו כן, נסמן y=mx+n . נעביר אגפים ונקבל x=\frac{y-n}{m} . נגזור ונקבל dx=\frac{dy}{m} .
I=\frac 1 m \int e^{\sin(y)}\,dy=\frac 1 m \int \sum_{k=0}^\infty \frac{sin^k(y)}{k!}\,dy=\frac 1 m \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\int sin^k(y)\,dy
וגם את האינטגל \int\sin^k(y)\,dx ניתן לפשט טיפה בצורה הבאה:
\int\sin^k(y)\,dx=
-\frac{\cos (y) \sin^{k-1}(y)}{k} + \frac{(k-1)}{k} \int \sin^{k-2} (y)\, dy
שוב @marbd , אין לך מה לדאוג, אתה לא תקבל תרגיל לחשב או לפרק אינטגרל כזה. בדרך כלל, אתה תידרש באמת להתעסק באינטגרלים מהצורה שציינת בהתחלה.
לייק 1
אתה יכול להראות את הפיתוח של הטור e^{sin(x)} ?
Zeta
6 בספטמבר, 2019, 10:58am
5
כמובן e^x :
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^5)
והפיתוח השני הוא של sinx :
\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!}+O(x^5)
לכן, נקבל:
\begin{align*}
e^{sinx}&=1+\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+O(x^{5})\right)+\frac{1}{2!}\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+O(x^{5})\right)^{2}+\frac{1}{3!}\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+O(x^{5})\right)^{3}\\&+\frac{1}{4!}\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+O(x^{5})\right)^{4}+O\left(\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+O(x^{5})\right)^{5}\right)\\&=1+\left(x-\frac{x^{3}}{3!}\right)+\frac{1}{2!}\left(x^{2}-2\frac{x^{4}}{3!}\right)+\frac{1}{3!}\left(x^{3}\right)+\frac{1}{4!}\left(x^{4}\right)+O\left(x^{5}\right)
\end{align*}
נסדר את המשוואה ונקבל:
\begin{align*}
e^{sinx}&=1+x+\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{3}}{3!}-2\frac{1}{2}\frac{x^{4}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+O(x^{5})\\&=1+x+\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{4}}{8}+O(x^{5})
\end{align*}
מקווה שמובן
לייק 1
