חסם תחתון על הסתברות של חיתוך של מאורעות

יהא \left(P,\mathcal{F},\Omega\right) מרחב הסתברות.
הוכיחו כי לכל \left(A_i\right)_{i=1}^{n}\subseteq \mathcal{F} מתקיים:

P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right) \geq \sum_{i=1}^nP(A_i) -(n-1)

אני לא מצליח להבין כיצד להוכיח את הטענה.
אשמח להכוונה כיצד להוכיח טענה זו.
תודה רבה.

לכל \left(A_i\right)_{i=1}^{n}\subseteq \mathcal{F} מתקיים (אי-שוויון בול):

P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i^c \right) \leq \sum_{i=1}^nP(A_i^c)

לפי דה-מורגן נקבל:

P\left(\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right)^c\right) \leq \sum_{i=1}^n\left[1-P(A_i)\right]

מצד אחד מתקיים:

P\left(\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right)^c\right)=1-P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right)

מצד שני, מתקיים:

\sum_{i=1}^n\left[1-P(A_i)\right]=n-\sum_{i=1}^n\left[P(A_i)\right]

לכן בסה"כ נקבל:

1-P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right) \leq n-\sum_{i=1}^n\left[P(A_i)\right]

נעביר אגפים ונקבל את הטענה המבוקשת.