Ben
1
יהא \left(P,\mathcal{F},\Omega\right) מרחב הסתברות.
הוכיחו כי לכל \left(A_i\right)_{i=1}^{n}\subseteq \mathcal{F} מתקיים:
P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right) \geq \sum_{i=1}^nP(A_i) -(n-1)
אני לא מצליח להבין כיצד להוכיח את הטענה.
אשמח להכוונה כיצד להוכיח טענה זו.
תודה רבה.
Gilad
2
לכל \left(A_i\right)_{i=1}^{n}\subseteq \mathcal{F} מתקיים (אי-שוויון בול):
P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i^c \right) \leq \sum_{i=1}^nP(A_i^c)
לפי דה-מורגן נקבל:
P\left(\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right)^c\right) \leq \sum_{i=1}^n\left[1-P(A_i)\right]
מצד אחד מתקיים:
P\left(\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right)^c\right)=1-P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right)
מצד שני, מתקיים:
\sum_{i=1}^n\left[1-P(A_i)\right]=n-\sum_{i=1}^n\left[P(A_i)\right]
לכן בסה"כ נקבל:
1-P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right) \leq n-\sum_{i=1}^n\left[P(A_i)\right]
נעביר אגפים ונקבל את הטענה המבוקשת.