שלום,
מהי פונקציה על וכיצד אני מציג אחת כזו או יודע שלפניי אחת כזו?
תודה רבה.
קודם כל, כדי להבין מהי פונקציה על, נסביר מהי פונקציה. ההגדרה של פונקציה:
פונקציה f\,:\,A\to B היא יחס דו-מקומי f\subseteq A\times B המקיים:
– תנאי הקיום - לכל x\in A קיים y\in B כך שמתקיים (x,y)\in f.
– תנאי היחידות - לכל x\in A ו-y_{1},y_{2}\in B אם (x_{1},y_{1})\in f וגם (x_{1},y_{2})\in f אזי y_{1}=y_{2}.
כעת, נסביר מהי פונקציית על:
תהא f\,:\,A\to B פונקציה. f היא על אם לכל y\in B קיים x\in A כך שמתקיים (x,y)\in f, כלומר f(x)=y.
נתבונן על הפונקציה f\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} המוגדרת על-ידי f(x)=2x+1. נשים לב כי לכל y\in\mathbb{R} מתקיים f\left(x\right)=y כאשר x=\frac{y-1}{2} ולכן הפונקציה f היא על.
מצד שני, הפונקציה g\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} המוגדרת על-ידי g(x)=x^2 אינה על שכן למשל עבור y=-1 שנמצא ב-\mathbb{R}, לא קיים x\in\mathbb{R} עבורו מתקיים g(x)=-1. אולם, אם נשנה את ההגדרת הפונקציה g להיות g\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+ אזי נקבל כי לכל y\in\mathbb{R}^+ קיים x\in\mathbb{R} המקיים g\left(x\right)=y כאשר x=\sqrt{y} ולכן g היא על.