במסיבה משתתפים N זוגות. במהלך הערב מזמין המארח באופן מקרי 2K מהאנשים להשתתף במשחק (מתקיים 2K\leq N). מהי ההסתברות שמבין אלה שהוזמנו להשתתף במשחק הוזמנו בדיוק K זוגות?
אשמח לעזרה עם השאלה,
תודה רבה על כל העזרה.
מרחב המדגם מורכב מכל תתי-הקבוצות של 2K אנשים שניתן לבחור מבין 2N האנשים שבמסיבה. לכן נקבל:
|\Omega| = \binom{2N}{2K} = \frac{(2N)!}{(2K)!(2N - 2K)!}
נשים לב כי אם נבחרו בדיוק K זוגות, אז כל 2K האנשים שנבחרו לשחק במשחק, חייבים להיות חברים באותם K זוגות. לפיכך, מספר המקרים הוא מספר הדרכים שבהן נוכל לבחור בדיוק K מתוך N זוגות במסיבה, כלומר:
\binom{N}{K}
מאחר ומדובר במרחב שווה-הסתברות נקבל כי ההסתברות שמבין אלה שהוזמנו להשתתף במשחק הוזמנו בדיוק K זוגות הינה:
P(\text{exactly $K$ couples are selected}) = \frac{\dbinom{N}{K}}{\dbinom{2N}{2K}}