חישוב גבול של מנה של סדרות

היי :slight_smile:
נתון הגבול הבא:

\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\ldots\frac{1}{3^n}}{1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\ldots+\frac{1}{5^n}}\right)

ניסיתי לפתור את התרגיל בעזרת כלל הסנדביץ’ על המונה והמכנה בנפרד והסתבכתי בדרך. אשמח לעזרה.
תודה רבה :slight_smile:

אפשר להשתמש בסכום של סדרה הנדסית. הסדרה במונה היא סדרה הנדסית עם איבר ראשון a_1=1 ומנה q_1=\frac{1}{3}. לכן סכום הסדרה במונה (סה"כ n+1 איברים) הוא:

\sum_{i=0}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^i=\frac{a_1\cdot(q^{n+1}-1)}{q-1}=\frac{1\cdot(1/3^{n+1}-1)}{1/3-1}=\frac{1-1/3^{n+1}}{2/3}=\frac{3}{2}\left(1-3^{-(n+1)}\right)

באותו אופן, עבור הסדרה ההנדסית במכנה עם איבר ראשון b_1=1 ומנה q_2=1 נקבל:

\sum_{i=0}^{n}\left(\frac{1}{5}\right)^i=\frac{5}{4}\left(1-5^{-(n+1)}\right)

לכן הגבול הינו:

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=0}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^i}{\sum_{i=0}^{n}\left(\frac{1}{5}\right)^i}&=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3}{2}\left(1-3^{-(n+1)}\right)}{\frac{5}{4}\left(1-5^{-(n+1)}\right)} \\ &=\frac{\frac{3}{2}\cdot(1-0)}{\frac{5}{4}\cdot(1-0)}=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{6}{5} \end{align*}

כאשר המעבר השני הוא בגלל שמתקיים \lim_{n\to\infty} z^{-n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{z^n}=0 לכל z>0.