גבול של סדרה ששואפת לאינסוף וסדרה חסומה, שואף לאינסוף

נתון a_n\to \infty ו-b_n\to b כאשר b גדול מ-0 וסופי. צריך להוכיח כי a_n\cdot b_n\to \infty.

ניסיתי להשתמש בהגדרה של גבול אינסופי אבל נתקעתי בדרך עם ההוכחה.
אשמח לעזרה

עבור סדרה b_n מתקיים \lim_{n\to\infty} b_n=b>\frac{b}{2}, כלומר כמעט לכל n מתקיים b_n>\frac{b}{2}. מכך נובע כי קיים N_1 טבעי כך שלכל n>N_1 מתקיים b_n>\frac{b}{2}. כמו כן, לכל M>0 קיים N_2 טבעי כך שלכל n>N_2 מתקיים a_n>\frac{2M}{b}.
נגדיר N=\max\{N_1,N_2\}. לכל n>N מתקיים b_n>\frac{b}{2} וגם a_n>\frac{2M}{b} ולכן נקבל:

a_n\cdot b_n>\frac{2M}{b}\cdot\frac{b}{2}=M

לכן ע"פ ההגדרה נקבל a_n\cdot b_n\to\infty, כנדרש.