מדוע מכפלה קרטזית היא לא פונקציה?
“פונקציה (או יותר נכון, יחס) הוא לא מכפלה קרטזית, אלא תת-קבוצה של מכפלה קרטזית. המכפלה הקרטזית בכללותה אינה פונקציה.”
תודה רבה.
הסימון f(x)=y בעצם אומר (x,y)\in f. פונקציה היא יחס שמקיים 2 תכונות:
סריאליות: אם f:A\rightarrow B אז לכל a\in A קיים b\in B כך ש-f(a)=b. לא להתבלבל עם פונקציה על. בלשון יחסים - (a,b)\in f.
חד-ערכיות: אם f(a)=b_1 וגם f(a)=b_2 אז b_1=b_2. בלשון יחסים - אם (a,b_1)\in f וגם (a,b_2)\in f אז y_1=y_2. במילים פשוטות, אין a שנשלח לשתי b-ים שונים.
לכן, עצם זה שפונקציה היא יחס שמקיים תכונות מיוחדות אומר שהיא תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית.
לגבי מכפלה קרטזית, הבעיה שהיא לא מקיימת חד-ערכיות. אם למשל \mathcal{R}=\{0,1\}\times \{0,1\} אז קל לראות כי מתקיים \mathcal{R}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}. לכן 0 נשלח ל-0 וגם ל-1.