שלום,
אשמח לעזרה בפתרון האי שוויון הבא עבור n>7:
\left(\frac{n}{e}\right)^{n}< n!<n\cdot\left(\frac{n}{e}\right)^{n}
התחלתי לנסות לפתור באמצעות אינדוקציה ונתקעתי בשלב האחרון.
תודה רבה
נוכיח כי מתקיים \left(\frac{n}{e}\right)^{n}< n! לכל n\geq 1 טבעי.
בסיס האינדוקציה: עבור n=1, מאחר ומתקיים e>1, נקבל:
\left(\frac{1}{e}\right)^{1}<1=1!
הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור n, כלומר נניח כי מתקיים:
\left(\frac{n}{e}\right)^{n}< n!
צעד האינדוקציה: נוכיח את נכונות הטענה עבור n+1, כלומר נראה כי מתקיים:
\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}< (n+1)!
נשים לב כי מתקיים:
\begin{align*}
\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}&=\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n}\cdot\left(\frac{n+1}{e}\right)\\&=\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n}\cdot\left(\frac{n+1}{e}\right)\cdot\frac{n^{n}}{n^{n}}\\&=\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\cdot\left(\frac{n+1}{e}\right)\\&\overset{I.H.}{<}n!\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\cdot\left(\frac{n+1}{e}\right)\\&=(n+1)!\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\cdot\frac{1}{e}\\&=(n+1)!\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot\frac{1}{e}\\&<(n+1)!\cdot e\cdot\frac{1}{e}\\&=(n+1)!
\end{align*}
כאשר המעבר הלפני אחרון נובע מכך שמתקיים \left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e שכן \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e וזאת סדרה מונוטונית.
נוכיח כי מתקיים n!<n\cdot\left(\frac{n}{e}\right)^{n} לכל n\geq 7 טבעי.
בסיס האינדוקציה: עבור n=7, מאחר ומתקיים e>1, נקבל:
הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור n, כלומר נניח כי מתקיים:
n!<n\cdot\left(\frac{n}{e}\right)^{n}
צעד האינדוקציה: נוכיח את נכונות הטענה עבור n+1, כלומר נראה כי מתקיים:
(n+1)!<(n+1)\cdot\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}
נשים לב כי מתקיים:
\begin{align*}
(n+1)!&=(n+1)\cdot n!\\&\overset{I.H.}{<}(n+1)\cdot n\cdot\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\\&=(n+1)\cdot\left(\frac{n}{e}\right)^{n+1}\cdot e\\&=(n+1)\cdot\left(\frac{n}{e}\right)^{n+1}\cdot e\cdot\left(\frac{n+1}{n+1}\right)^{n+1}\\&=(n+1)\cdot\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\cdot e\\&=(n+1)\cdot\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\cdot e\\&<(n+1)\cdot\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}\cdot\frac{1}{e}\cdot e\\&=(n+1)\cdot\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}
\end{align*}
כאשר המעבר הלפני אחרון נובע מכך שמתקיים \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>\frac{1}{e} שכן \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=\frac{1}{e} וזאת סדרה מונוטונית.
סה"כ הראנו כי \left(\frac{n}{e}\right)^{n}< n!<n\cdot\left(\frac{n}{e}\right)^{n} לכל n\geq 7, כנדרש.