כיצד ניתן למצוא את הגבול של הסדרה הבאה: a_n=c^n-n^{100} כאשר c>1?
תודה רבה מראש.
נרשום את הסדרה בתור c^n(1-\frac{n^{100}}{c^n}) ונסמן a_n=\frac{n^{100}}{c^n}.
נסתכל על המנה של a_n, נקבל \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{c}\cdot (\frac{n+1}{n})^{100} ולכן המנה שואפת ל-\frac{1}{c} שהוא מספר בין 0 ל-1.
לכן קיים N שהחל ממנו המנה הזו חסומה מלמעלה ע"י מספר t בין 0 ל-1.
טענה: לכל n>N מתקיים a_n\leq a_{N+1}\cdot t^{n-N-1}.
הוכחה: באינדוקציה. עבור N+1 ברור. נניח נכונות ל-n. מתקיים:
a_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot a_n \leq t\cdot (a_{N+1}\cdot t^{n-N-1}) = a_{N+1}\cdot t^{n-N}
כנדרש.
לכן מאחר שלכל n>N מתקיים ש-0\leq a_n\leq a_{N+1}\cdot t^{n-N-1} לכן מסנדוויץ נקבל שמתקיים a_n\longrightarrow 0.
כעת, יהי M ממשי. מאחר ו-a_n שואפת לאפס, קיים n_0 שהחל ממנו a_n\in (0,0.5). מצד שני c^n שואפת לאינסוף ולכן קיים n_1 שהחל ממנו c^n\geq 2M.
בסה"כ עבור n שגדול מהמקסימום בין n_0, n_1 מתקיים
c^n(1-\frac{n^{100}}{c^n})\geq 2M\cdot (1-0.5)=M