נתונה השאלה הבאה:
הוכיחו שקיים טבעי יחיד n עבורו לא מתקיים (n!,n+1)\in\{1,n+1\}. מצאו n זה ואפיינו את כל ה-n-ים עבורם (n!,n+1)=1 ואת כל ה-n-ים עבורם (n!,n+1)=n+1.
אשמח לעזרה עם השאלה הנ"ל.
אני מניח שב-(n!,n+1) אתה מתכוון למחלק משותף מקסימלי GCD. חשוב להסביר דברים כאלה, אחרת אתה לא תקבל עזרה בפורום זה, מסיבה פשוטה שלא יבינו מה כוונתך.
יהי n\in\mathbb{N} טבעי כלשהו. אם n+1 הוא מספר ראשוני אז (n!,n+1)=1. אחרת, n+1 הוא מספר פריק. אם קיים מספר ראשוני p כך שמתקיים n + 1 \ne p^2, אזי קיימים a,b\geq n שונים כך שמתקיים n+1=a\cdot b. מכך נובע ab|n!=n+1 ולכן ע"פ הגדרת מחלק משותף מקסימלי (n!,n+1)=n+1. אחרת, קיים מספר ראשוני p כך שמתקיים n + 1= p^2 כאשר p>2. מאחר ומתקיים 1 < p < 2p \le n נקבל p(2p)|n! ולכן n+1=p2|n!. ע"פ הגדרת מחלק משותף מקסימלי נקבל (n!,n+1)=n+1. אחרת, עבור p=2 נקבל n + 1 = 2^2 ולכן במקרה זה ע"פ הגדרת המחלק המקסימלי נקבל (3!,4)=2.
נסכם: קיבלנו כי לכל n\in\mathbb{N} שונה מ-3 נקבל (n!,n+1)\in\{1,n+1\}, עבור n-ים שעבורם n+1 הוא מספר ראשוני נקבל (n!,n+1)=1 ועבור כל השאר נקבל (n!,n+1)=n+1.
בהצלחה.