כיצד להוכיח את הממוצע האריתמטי-גיאומטרי בעזרת הלמה של קנטור?

[marbd]

שלום לכולם, אני מנסה להוכיח את הגבול שנקרא הממוצע האריתמטי-גיאומטרי של a ו-b.
טענה: יהי 0<a<b. נגדיר סדרה \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty} כך שמתקיים:

x_1=a,\,x_{n+1}=\sqrt{x_n y_n}

כאשר הסדרה \left(y_n\right)_{n=1}^{\infty} מקיימת:

y_1=b,\,y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}

הוכיחו כי הסדרות \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty} ו-\left(y_n\right)_{n=1}^{\infty} מתכנסות לגבול משותף הנצא בקטע [a,b].

עכשיו, אני יודע שהנושא של הפרק הוא הלמה של קנטור ולכן אני מניח שצריך להשתמש בה או לפחות בדרך של ההוכחה של הלמה. אולם, אני לא מצליח לפתור את הבעיה.
אשמח לעזרה כיצד להוכיח את הטענה.
תודה רבה!

[Ben]

ע"פ אי-שוויון הממוצעים נובע כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים:

x_{n+1}=\sqrt{x_n y_n}\leq \frac{x_n+y_n}{2}=y_{n+1}

מאחר ומתקיים x_1=a\leq b=y_1 נקבל x_n\leq y_n ולכן מתקיים:

x_{n+1}=\sqrt{x_n y_n}\geq \sqrt{x_nx_n}=x_n

כמו כן, מתקיים:

y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}\leq \frac{y_n+y_n}{2}=y_n

בסה"כ נקבל x_n\leq x_{n+1}\leq y_{n+1}\leq y_{n}. מכך נובע כי סדרת הקטע \left(\left[x_n,y_n\right]\right) היא סדרה יורדת. כעת, נשים לב כי מתקיים:

y_{n+1}-x_{n+1}\leq y_{n+1}-x_n=\frac{x_n+y_n}{2}-x_n=\frac{y_n-x_n}{2}

מכך נובע \lim_{n\to\infty}\left(y_n-x_n\right)=0 ומהלמה של קנטור נובע כי הסדרות \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty} ו-\left(y_n\right)_{n=1}^{\infty} מתכנסות לגבול משותף שנמצא בכל אחד מהקטעם \left[x_n,y_n\right] ובפרט בקטע \left[x_1,y_n\right]=[a,b], כנדרש.

[Gilad]

הוכחה ממש מעולה @Ben! חייב לציין שנתקעתי חצי לחשוב כיצד לפתור את זה בעצמי

[marbd]

תודה רבה על העזרה עם התרגיל! ההוכחה נראת מעולה