שלום לכולם, אני מנסה להוכיח את הגבול שנקרא הממוצע האריתמטי-גיאומטרי של a ו-b.
טענה: יהי 0<a<b. נגדיר סדרה \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty} כך שמתקיים:
x_1=a,\,x_{n+1}=\sqrt{x_n y_n}
כאשר הסדרה \left(y_n\right)_{n=1}^{\infty} מקיימת:
y_1=b,\,y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}
הוכיחו כי הסדרות \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty} ו-\left(y_n\right)_{n=1}^{\infty} מתכנסות לגבול משותף הנצא בקטע [a,b].
עכשיו, אני יודע שהנושא של הפרק הוא הלמה של קנטור ולכן אני מניח שצריך להשתמש בה או לפחות בדרך של ההוכחה של הלמה. אולם, אני לא מצליח לפתור את הבעיה.
אשמח לעזרה כיצד להוכיח את הטענה.
תודה רבה!
מכך נובע \lim_{n\to\infty}\left(y_n-x_n\right)=0 ומהלמה של קנטור נובע כי הסדרות \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty} ו-\left(y_n\right)_{n=1}^{\infty} מתכנסות לגבול משותף שנמצא בכל אחד מהקטעם \left[x_n,y_n\right] ובפרט בקטע \left[x_1,y_n\right]=[a,b], כנדרש.
