שלום לכולם,
נתונים הישרים המקבילים 3x+y-15=0 ו-3x+y+5=0. מצאו את משאוותו של המעגל המשיק לשניהם כאשר נקודת המגע באחד מהישרים היא (4,3). מהי נקודת ההשקה השנייה?
אני מבין שהישרים הנתונים הם משיקים מקבילים אבל כיצד אני מוצא את משוואת המעגל?
בין שני משיקים מקבילים מחבר קוטר שנסמן ב-D (מתקיים D=2R כאשר R הוא רדיוס המעגל). המרחק בין שני הישרים הנתונים שווה באורכו לקוטר המעגל ולכן מתקיים:
D=\frac{|5+15|}{\sqrt{3^2+1^2}}=2\sqrt{10}
מאחר ומתקיים D=2R נקבל R=\sqrt{10}.
כמו כן, רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. נתון כי הישר עליו מונח הקוטר מאונך לישרים הנתונים ועובד דרך הנקודה (4,3) ולכן השיפוע של משוואת הישר שעובר בין שתי נקודות ההשקה הוא m=\frac{1}{3} (שכן מכפלת השיפועים צריכה להיות -1. לכן משוואת הישר עליו מונח הקוטר:
y-3=\frac{1}{3}(x-4)\Rightarrow y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}
נמצא את נקודת ההשקה השנייה שהיא חיתוך בין משוואת הישר עליו מונח הקוטר והמשיק:
\begin{cases}
y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}x\\
y=-3x-5
\end{cases}\Rightarrow(-2,1)
כלומר נקודת ההשקה השנייה (-2,1). מרכז המעגל O נמצא באמצע הקוטר ולכן:
x_O=\frac{4+(-2)}{2}=1,\,y_O=\frac{3+1}{2}=2
לכן מרכז המעגל נמצא ב-O(1,2). סה"כ משוואת המעגל הינה:
(x-1)^2+(y-2)^2=10