שלום לכולם,
אני רוצה לבדוק אם הוקטורים הבאים:
a=3i+j-4k, \, b= 5i-3j-2k, \, c= 4i-j-3k
הם וקטורים קופלנריים.
אני יודע וקטורים שנמצאים אותו מישור נקראים וקטורים קופלנרים. אבל כיצד אני בודק אם הם על אותו המישור?
אכן וקטורים קופלנריים הם וקטורים שנמצאים על אותו מישור. ניתן להשתמש במשפט הבא: \vec{a},\vec{b},\vec{c} הם וקטורים קופלנריים אם"ם מתקיים \vec{a}\cdot \left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=0. נחשב:
\begin{align*}
\vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)&=\begin{vmatrix}3 & 1 & -4\\
5 & -3 & -2\\
4 & -1 & -3
\end{vmatrix}\\&=(-1)^{1+1}\cdot3\begin{vmatrix}-3 & -2\\
-1 & -3
\end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot1\begin{vmatrix}5 & -2\\
4 & -3
\end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot(-4)\begin{vmatrix}5 & -3\\
4 & -1
\end{vmatrix}\\&=3\cdot\left((-3)\cdot(-3)-(-1)\cdot(-2)\right)-\left(5\cdot(-3)-4\cdot(-2)\right)-4\cdot\left(5\cdot(-1)-4\cdot(-3)\right)\\&=21-(-7)+28=0
\end{align*}
לכן הוקטורים \vec{a},\vec{b},\vec{c} הם אכן וקטורים קופלנריים.