תוחלת של מספר של זוגות של אחדים העוקבים

[Ben]

שלום לכולם,
אשמח לקבל עזרה עם השאלה הבאה:

בסדרת ביטים אקראית באורך n כל ביט הוא 1 בהסתברות p בלי תלות באחרים.
חשב תוחלת של מספר של זוגות של אחדים העוקבים.

אני הגדרתי מ"מ X להיות מספר של זוגות של אחדים העוקבים אבל כיצד אני מפתח את E(X)?
תודה רבה על העזרה.

[Gilad]

אכן נגדיר מ"מ X להיות מספר של זוגות אחדים העוקבים בסדרה. כמו כן, נגדיר אינדיקטור I_i באופן הבא:

I_{i}=\begin{cases} 1 & S[i]=1\wedge S[i+1]=1\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

כאשר S היא הסדרה של הביטים הנתונה והאינדיקטור מוגדר עבור 1\leq i\leq n-1.
מכך נובע:

\begin{align*} E\left(X\right)&=E\left(\sum_{i=1}^{n-1}I_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n-1}E\left(I_{i}\right)\\&=\sum_{i=1}^{n-1}P\left(I_{i}=1\right)=\sum_{i=1}^{n-1}p^{2}=(n-1)p^{2} \end{align*}

כלומר התוחלת הינה (n-1)p^{2}.
בהצלחה.

[Ben]

כל כך פשוט שקצת מביך שלא עליתי על זה.
תודה רבה!