נגדיר יחס קרטזי \leq_{cart} על הקבוצה N \times N באופן הבא: (a,b)\leq_{cart}(c,d) אם a\leq c וגם b\leq d.
צריך להוכיח: הקבוצה הסדורה חלקית (N \times N,\leq_{cart}) מקיימת את תכונת המינימליות.
שלום אשמח לעזרה, זה נראה לי מאוד מובן מאליו שזה נכון אבל אני לא יודע איך לכתוב הוכחה כזאת. אשמח להכוונה.
ניסיתי להראות באינדוקציה אבל לא בטוח שזה תקין,
לבסיס לקחתי קבוצה עם איבר אחד, להנחה קבוצה עם n-1 איברים, ואז הוכחתי על בסיס ההנחה למקרה של n איברים.
זה תקין לעשות את זה?
התגית צריכה להיות מתמטיקה דיסקרטית אבל לא מצאתי אחת.
קודם כל, השתמשת בתגית הנכונה. יחסים הוא אכן נושא (חשוב) בתורת הקבוצות. מתמטיקה דיסקרטית הוא תחום רחב יותר שמכיל ענפים רבים כמו קומבינטוריקה, תורת הגרפים וגם את תורת הקבוצות.
נאמר כי \left(A,\leq\right) היא קבוצה סדורה חלקית המקיימת את תכונת המינימליות אם לכל B\subseteq A לא ריקה, קיים איבר מינימלי (אחד לפחות).
יהי T \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N}. נגדיר:
מאחר ו- \mathbb{N} הוא סדר טוב נובע כי קיים a_{min}=\min T_a. כמו כן נגדיר:
T_b=\{b \in \mathbb{N}: (a_{min},b)\in T\}
מאחר ו- \mathbb{N} הוא סדר טוב נובע כי קיים b_{min}=\min T_b.
אם ניקח (c,d)\in \mathbb{N} \times \mathbb{N} אז נקבל a \leq c ע"פ הגדרת T_a. לכן (c,d) הוא לא קטן מ-(a,b) ולכן (a_{min},b_{min}) הוא האיבר הקטן ביותר ב-T. מכך נובע כי \left( \mathbb{N}\times \mathbb{N},\leq_{cart}\right) היא קבוצה סדורה חלקית המקיימת את תכונת המינימליות.