קבוצות סדורות חלקית ויחס קרטזי

מתמטיקה
2

קודם כל, השתמשת בתגית הנכונה. יחסים הוא אכן נושא (חשוב) בתורת הקבוצות. מתמטיקה דיסקרטית הוא תחום רחב יותר שמכיל ענפים רבים כמו קומבינטוריקה, תורת הגרפים וגם את תורת הקבוצות.

נאמר כי \left(A,\leq\right) היא קבוצה סדורה חלקית המקיימת את תכונת המינימליות אם לכל B\subseteq A לא ריקה, קיים איבר מינימלי (אחד לפחות).

יהי T \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N}. נגדיר:

T_a= \{a \in \mathbb{N} : \exists N \ s.t. (a,b) \in T\}

מאחר ו- \mathbb{N} הוא סדר טוב נובע כי קיים a_{min}=\min T_a. כמו כן נגדיר:

T_b=\{b \in \mathbb{N}: (a_{min},b)\in T\}

מאחר ו- \mathbb{N} הוא סדר טוב נובע כי קיים b_{min}=\min T_b.
אם ניקח (c,d)\in \mathbb{N} \times \mathbb{N} אז נקבל a \leq c ע"פ הגדרת T_a. לכן (c,d) הוא לא קטן מ-(a,b) ולכן (a_{min},b_{min}) הוא האיבר הקטן ביותר ב-T. מכך נובע כי \left( \mathbb{N}\times \mathbb{N},\leq_{cart}\right) היא קבוצה סדורה חלקית המקיימת את תכונת המינימליות.