היי, אשמח לעזרה בשאלה הבאה:
תהי f רציפה וחיובית בקטע (0,1) ומקיימת:
\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 1^-}f(x)=0
יש להוכיח כי f מקבלת מקסימום ב-(0,1).
תודה רבה!
ניתן להרחיב את הפונקציה f להיות הפונקציה g כך שמתקיים:
g(x)=\begin{cases}
0 & x=0\\
f(x) & x\in(0,1)\\
0 & x=1
\end{cases}
הפונקציה g היא כמובן חיובית ורציפה (למה?). כמו כן, ע"פ משפט ויירשטראט השני נובע כי פונקציה g מקבלת מקסימום בקטע הסגור [0,1]. בנוסף לכך, הפונקציה g חיובית, כך שמתקיים g(x)>0 לכל x\in(0,1). מאחר ומתקיים g(0)=g(1)=0 נובע כי לכל x\in(0,1) מתקיים g(x)>g(0) וגם g(x)>g(1) ולכן לפונקציה g יש מקסימום ב-(0,1). מאחר ולכל x\in(0,1) מתקיים f(x)=g(x) נובע כי לפונקציה f יש מקסימום בקטע x\in(0,1), כנדרש.