לפונקציה יש שתי נקודות בהן הנגזרת השנייה מתאפסת

היי, אשמח לעזרה בשאלה הבאה:
נתון כי f גזירה פעמיים.
נתון כי f פונקציה זוגית שיש לה מינימום מקומי בנקודה x=2.
הוכח כי יש שתי נקודות בהן הנגזרת השנייה מתאפסת.

ניסיתי להוכיח באמצעות משפט רול אבל הסתבכתי עם הדרך.
תודה רבה!

תהא f\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} פונקציה גזירה פעמיים וזוגית כך שיש לה מינימום מקומי בנקודה x=2. ע"פ ההנחה, הפונקציה f זוגית ולכן לכל x מתקיים f(x)=f(-x). בפרט זה נכון עבור x=2, כלומר מתקיים f(2)=f(-2). ע"פ ההנחה, הפונקציה f מקבלת מינימום מקומי בנקודה x=2 ולכן היא מקבלת מינימום מקומי גם בנקודה x=-2. כמו כן, כל פונקציה זוגית גזירה מקיימת f'(0)=0. סה"כ קיבלנו:

f'(-2)=f'(0)=f'(2)=0

נשים לב כי הנגזרת f' היא פונקציה רציפה בקטע הסגור \left[-2,0\right] וגזירה בקטע הפתוח (-2,0) כך שמתקיים f'(-2)=f'(0). לכן ע"פ משפט רול נובע כי קיימת נקודה c_1\in(-2,0) כך שמתקיים f''\left(c_1\right)=0.
כמו כן, נשים לב כי הנגזרת f' היא פונקציה רציפה בקטע הסגור \left[0,2\right] וגזירה בקטע הפתוח (0,2) כך שמתקיים f'(0)=f'(2). לכן ע"פ משפט רול נובע כי קיימת נקודה c_2\in(0,2) כך שמתקיים f''\left(c_2\right)=0.
הראנו כי קיימות שתי נקודות בהן הנגזרת השנייה מתאפסת, כנדרש.

הערה: הנחתי כי הפונקציה הינה f\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} שכן אחרת הטענה לא נכונה.