תהא A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} קבוצה. כמו כן, נגדיר: S\subseteq P(A).
נתון כי בכל קבוצה ב-S יש 4 איברים, וכל איבר של A שייך ל-3 קבוצות של S.
כמה קבוצות יש ב-S?
ראיתי את הפתרון הזה:
יש 8 איברים ב-A כל איבר שייך ל-3 קבוצות, כלומר יש 3\cdot 8 איברים בכל תת הקבוצות שנמצאות ב-S. נתון שכל תת קבוצה ב-S בעלת 4 איברים, לכן נחלק ב-4.
אבל לא ממש הבנתי, אם יש מצב של חפיפה מי אמר שיש דווקא 3\cdot 8 איברים? ולא הבנתי גם למה חילקו ב-4.
אשמח להסבר.
דרך נוספת להסביר את הפתרון: קבוצת החזקה P(A) היא קבוצה של כל תתי-הקבוצות של A. ע"פ הנתון S\subseteq P(A) נובע כי מכילה חלק מתתי-הקבוצות של A. נסמנם ב-S=\{S_1,S_1,...,S_n\}. נתון כי כל קבוצה ב-S מכילה ארבעה איברים ולכן |S_i|=4 לכל i\in[1,n]. כמו כן, נתון כי כל a\in A נמצא בדיוק בשלוש קבוצות שנסמנם ב-S_l,S_m,S_n ולכן אם תכתוב את האיברים של A בדיוק שלוש פעמים כל אחד, תקבל סה"כ 3\cdot 8=24 איברים. כמו כן, גודל כל קבוצה הוא 4 ולכן המספר הכולל של האיברים הוא \sum_i|S_i|=4n. מכך נובע 4n=24, כלומר n=6.
כנראה שהייתי מעורפל אתמול, אבל אחרי שקראתי את ההסברים שלכם פתאום זה ממש ברור.
תודה רבה!!
נשתמש במשפט הבא: יהא R\subseteq A\times S כך שלכל a\in A מתקיים:
לכן מתקיים |R|=t\cdot |A|.
במקרה שלנו R הוא יחס השייכות. ע"פ נתוני השאלה מתקיים t=3 ולכן נקבל:
כלומר, אברי הקבוצה A מופיעים סה"כ 24 פעמים. אבל אין סדר בקבוצות ולכן נצטרך לחלק במספר האיברים בכל קבוצה (שזה ע"פ הנתון 4), כך שסה"כ מספר הקבוצות בעלי 4 איברים כך שכל איבר ב-A מופיע בהן 3 פעמים הוא \frac{24}{4}=6.