מחלקות שקילות - כמות יחסי שקילות על קבוצה

היי,
כמה יחסי שקילות שונים שבהם בדיוק 2 מחלקות שקילות יש על קבוצה A בת 2021 איברים?
ניסיתי לפתור והגעתי למספר עצום ואין לי מושג אם זה בכיוון בכלל.

הגעתי לכך שמתקיים 2^{2020}-1. אשמח לדעת אם זה נכון.
בנוסף בפתרון שלי התבססתי על זה שגודל הקבוצה A הוא אי זוגי, ולא הבנתי איך להסיק למקרה שגודל הקבוצה הוא זוגי.

תודה :slight_smile:

כדאי שנוכל לדעת איך הגעת לתשובה 2^{2020}-1, עלייך להסביר מה ניסית לעשות (אבל זה נכון).

קיימת בייקציה בין קבוצת של יחסי שקילות של קבוצה לבין קבוצת כל החלקות של הקבוצה. לכן נוכל להסיק כי מספר יחסי השקילות שבהם יש בדיוק שתי מחלקות שקילות על קבוצה עם n איברים שווה למספר החלקות של קבוצה עם n איברים לשתי קבוצות לא ריקות.
מספר תתי-הקבוצות של קבוצה עם n איברים הוא 2^n. כמו כן, נחסיר מ-2^n את הערך 2 עבור הקבוצה הריקה ועבור הקבוצה עצמה. לכן מספר החלוקות הוא:

\frac{2^n-2}{2}=2^{n-1}-1

כמו שאתה רואה, אין כאן חלוקה לזוגיים או אי-זוגיים.
לכן עבור קבוצה A עם 2021 איברים נקבל 2^{2020}-1 יחסי שקילות שונים שבהם בדיוק שתי מחלקות שקילות על הקבוצה A.

מעולה תודה רבה!! בדיוק מה שעשיתי, אבל מה יקרה נניח לקבוצה עם 4 איברים או 10 איברים?
זה יתפוס גם למקרה כזה?
זה לא מסתדר לי על מקרה שגודל הקבוצה הוא למשל 4…