כיצד ניתן להראות כי הסדרה \displaystyle a_n=\sum_{k\,=\,n}^{2n}\frac{k}{(k+1)^2} מתכנסת?
נסיתי להראות זאת באמצעות תנאי קושי אך הסתבכתי.
קיימות מספר דרכים לעשות זאת. הדרך הראשונה שאציע היא לחשב הגבול באופן ישיר בעזרת סכום רימן. קודם כל, אציע את הפירוק הבא:
\sum_{k=n}^{2n}\frac{k}{(k+1)^{2}}=\sum\limits _{k=n}^{2n}\frac{1}{k+1}-\sum\limits _{k=n}^{2n}\frac{1}{(k+1)^{2}}
כעת, נחשב:
\begin{align*}
\sum\limits _{k=n}^{2n}\frac{1}{k+1}&=-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n+1}+\sum\limits _{k=n}^{2n}\frac{1}{k}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n+1}+\sum\limits _{k=0}^{n}\frac{1}{k+n}\\&=-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{n}\sum\limits _{k=0}^{n}\frac{1}{\frac{k}{n}+1}\to\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}dx=\log(2)
\end{align*}
כמו כן, מתקיים:
0=\sum\limits _{k=n}^{2n}\frac{1}{(k+1)^{2}}\le(n+1)\frac{1}{(n+1)^{2}}=\frac{1}{n+1}\to0
לכן סה"כ ע"פ אריתמטיקה של גבולות נקבל:
\sum_{k=n}^{2n}\frac{k}{(k+1)^{2}}\to\log(2)
הדרך השנייה היא להראות שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעל ולכן מתכנסת. קודם כל, נוכיח שהסדרה מונוטונית עולה:
\begin{align*}a_{n+1}-a_{n} & =\sum_{k=n+1}^{2n+2}\frac{k}{(k+1)^{2}}-\sum_{k=n}^{2n}\frac{k}{(k+1)^{2}}\\
& \frac{2n+2}{(2n+3)^{2}}+\frac{2n+1}{(2n+2)^{2}}-\frac{n}{(n+1)^{2}}\\
& =\frac{2n+2}{(2n+3)^{2}}+\frac{2n+1}{(2n+2)^{2}}-\frac{4n}{(2n+2)^{2}}\\
& =\frac{2n+2}{(2n+3)^{2}}-\frac{2n-1}{(2n+2)^{2}}\\
& =\frac{(2n+2)^{3}-(2n-1)(2n+3)^{2}}{(2n+3)^{2}(2n+2)^{2}}\\
& =\frac{4n^{2}+18n+17}{(2n+3)^{2}(2n+2)^{2}}
\end{align*}
קיבלנו כי לכל n טבעי מתקיים a_{n+1}-a_{n} >0, כלומר a_{n+1}>a_{n} . מכך נובע כי הסדרה a_n מונוטונית עולה. נותר להוכיח שהסדרה הנ"ל חסומה מלעל. נשים לב כי לכל n\leq k\leq 2n מתקיים:
\frac{k}{(k+1)^2}\leq\frac{2n}{(n+1)^2}\leq\frac{2n}{n^2}=\frac{2}{n}
מכך, נוכל להסיק כי מתקיים:
a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{k}{(k+1)^2}\leq\sum_{k=n}^{2n}\frac{2}{n}=\frac{2(n+1)}{n}=2+\frac{1}{n}\leq 3
לכן הסדרה a_n מתכנסת, כנדרש.
התרגיל ברמת גבול של סדרה. אשמח לפתרון בכלים הקיימים ולא אנאכרוניסטי ומתקדם.
יפה!
למען האמת יכולת להתאמץ הרבה פחות בהוכחת החסימות:
\displaystyle\begin{align}\large a_{\small n}&=\sum_{\small k\,=\,n}^{\small2n}\frac{k}{(k+1)^{\small2}}\\&<\sum_{\small k\,=\,n}^{\small2n}\frac{k}{k(k+1)}=\sum_{\small k\,=\,n}^{\small2n}\frac{1}{k+1}\\&<\sum_{\small k\,=\,n}^{\small2n}\frac{1}{n+1}=1\end{align}