איך מוכיחים כי גבול הסדרה \displaystyle a_n=\prod_{k\,=\,1}^{n}\frac{2k-1}{2k}=\dfrac{(2n)!}{(2^nn!)^2}=2^{-2n}\binom{2n}{n} הוא אפס?
נשים לב כי מתקיים:
\begin{align*}
a_n=2^{-2n} \binom{2n}{n}&=\prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k} < \prod_{k=1}^n \frac{2k}{2k+1}\\&=\prod_{k=1}^n \frac{2k}{2k-1} \cdot \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k+1}\\&
=\frac{1}{a_n} \cdot \frac{1}{2n+1}
\end{align*}
מכך נובע 0 < a_n < \frac{1}{\sqrt{2n+1}} ולכן ממשפט הסנדוויץ נובע כי הסדרה a_n אפסה.