בעיית תנועה עם גיאומטריה של המישור

מתמטיקה
,
1

שני הולכי רגל יוצאים בשעה 07:00 מנקודה A: אחד הולך צפונה ואחד הולך מזרחה (ראו ציור). בשעה 09:00 הגיע ההולך מזרחה לנקודה B ,וההולך צפונה הגיע לנקודה D כך שהמרחק ביניהם היה 10 ק"מ. ההולך צפונה הלך מיד מנקודה D לנקודה B בדרך הקצרה ביותר, והגיע לנקודה B בשעה 11:30. המהירויות של הולכי הרגל אינן משתנות.
מצאו את המהירויות של כל אחד מהולכי הרגל.
הציור:

image

אשמח לעזרה עם השאלה.

2

מטעמי נוחות, נסמן את ההולך צפונה להיות בעל מספר 1 על החולצה ואת ההולך מזרחה להיות בעל מספר 2 על החולצה. המהירויות של שני הולכי הרגל אינן משתנות ולכן נגדיר אותן להיות v_1,v_2 בהתאמה. הולך הרגל אשר הולך צפונה, הגיע לנקודה D תוך שעתיים ולכן AD=2v_1. הולך הרגל אשר הולך מזרחה, הגיע לנקודה B תוך שעתיים ולכן AB=2v_2. כמו כן, נתון כי המרחק DB הוא באורך 10 ק"מ וכי לוקח להולך הרגל הראשון לעבור את המרחק הנ"ל בשעתיים וחצי. לכן, נוכל לחשב את מהירותו:

v_1=\frac{10}{2.5}=4km/h

כלומר מהירותו הקבועה של הולך הרגל הראשון הינה 4 קמ"ש. לכן, נוכל לחשב את המרחק AD:

AD=2v_1=2\cdot 4=8km

מאחר ומשולש ABD הוא משולש ישר זווית, ע"פ משפט פיתגורס נקבל:

\begin{align*} AD^{2}+AB^{2}=DB^{2}&\Leftrightarrow8^{2}+\left(2v_{2}\right)^{2}=10^{2}\\&\Leftrightarrow64+4v_{2}^{2}=100\\&\Leftrightarrow v_{2}^{2}=9\\&\Leftrightarrow v_{2}=\pm3 km/h\end{align*}

מאחר ומהירות הינה בעלת ערך אי-שלילי נובע כי מהירותו של הולך הרגל השני הינה 1.5 קמ"ש.
בהצלחה.