חישוב שטח שחסום בין היפרבולה והציר האנכי

שלום,
אשמח לעזרה עם השאלה הבאה:
צריך לחשב את השטח הכלוא בין הקווים של המשוואה y^2=x+a^2 וציר ה-y באשר a ממשי חיובי כלשהו.
תכלס אין לי מושג איך עושים את זה.
תודה רבה לעוזרים!

היי :slight_smile:
שרטוט של השטח שעלינו לחשב:

עלינו לחשב את השטח הכלוא בין ההיפרבולה y^2=x+a^2 והציר האנכי כאשר 0\leq a\in \mathbb{R}.
אם a=0 אז כמובן השטח שווה לאפס. נחשב את השטח עבור a> 0. מטעמי סימטריה, מספיק לחשב את השטח הכלוא בין ההיפרבולה הנתונה, הציר האופקי והציר האנכי החיובי (כלומר את השטח ABD). תחילה נחשב את הנקודה B:

0^2=x+a^2\Rightarrow x=-a^2\Rightarrow B(-a^2,0)

עתה, נחשב את השטח ABD:

\begin{align*} \int_{-a^2}^{0}\sqrt{x+a^2}dx&= \left [\frac{2}{3}(x+a^2)^{1.5} \right ]^{0}_{-a^2}= \\ &= \left [\frac{2}{3}(0+a^2)^{1.5} \right ]-\left [\frac{2}{3}(-a^2+a^2)^{1.5} \right ]= \frac{2}{3}a^{3} \end{align*}

המעבר האחרון נכון בגלל שמתקיים a>0. נכפול ב-2 כדי לקבל את השטח של ABC:

2\cdot S_{ABD}=2\cdot \frac{2}{3}a^{3} = \frac{4}{3}a^{3}

מקווה שהכל מובן :smiley:

3 לייקים

מאוד מובן עכשיו כשפתרת את זה.
איך ידעת איזו מן צורה ואיך היא נראית?
תודה רבה

צריך פשוט להכיר כיצד היפרבולה נראת. הדרך הכי קלה להתייחס לשאלות עם פרמטרים היא להסתכל על מקרה פרטי שלה. בהתחלה ניסיתי לפתור את השאלה עבור a=5 ואז עבור 0\leq a\in \mathbb{R} כללי.

לייק 1