אני מבין היטב את טענת השקילות בשורה השניה, אך לצערי אינני מצליח להבין כיצד נובעת מכך המרת האינדקסים בשורה השלישית.
אשמח להסבר מפורט.
\displaystyle\begin{align}\sum_{\scriptsize d\,|\,n}\mu(d)F\bigl(\tfrac{n}{d}\bigr)&=\sum_{\scriptsize d\,|\,n}\left(\mu(d)\sum_{\scriptsize c\,\big|\,\tfrac{n}{d}}f(c)\right)\\&=\sum_{\scriptsize d\,|\,n}\left(\sum_{\scriptsize c\,\big|\,\tfrac{n}{d}}\mu(d)f(c)\right)\qquad:(d\,|\,n)\wedge(c\,|\,\tfrac{n}{d})\,\iff\,(c\,|\,n)\wedge(d\,|\,\tfrac{n}{c})\\&=\sum_{\scriptsize c\,|\,n}\left(\sum_{\scriptsize d\,\big|\,\tfrac{n}{c}}\mu(d)f(c)\right)\\&=\sum_{\scriptsize c\,|\,n}\left(f(c)\sum_{\scriptsize d\,\big|\,\tfrac{n}{c}}\mu(d)\right)\end{align}