Ben
1
נתונה פונקציה עם שני משתנים הבאה:
f(x,y)=y\ln\left(x^4+y^4\right)
אני מנסה לחשב את הגבול הבא:
\lim_{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}f(x,y)=\lim_{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}y\ln\left(x^4+y^4\right)
אשמח להכוונה כיצד לחשב את הגבול הזה.
תודה רבה על כל העזר.
Gilad
2
תחילה, נשים לב כי מתקיים:
x^4+y^4\le x^4+y^4+2x^2y^2=(x^2+y^2)^2
כעת, נגדיר: g(x,y)=y\ln(x^2+y^2). במקרה זה נקבל:
\lim_{r\rightarrow 0^+} r\ln\ r = \lim_{r\rightarrow 0^+}
\frac{\ln\ r}{1/r}=\lim_{r\rightarrow 0^+}
\frac{\frac{1}{r}}{-\frac{1}{r^2}} =0
מכך נובע:
|y\ln\ (x^2+y^2) - 0 | \leq |r
\ln\ r^2|=2r|\ln\ r|\rightarrow 0
כאשר r:=\sqrt{x^2+y^2}\rightarrow 0. לפיכך נובע:
\lim_{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}g(x,y)=0
ע"פ משפט הסנדוויץ נקבל:
\lim_{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}f(x,y)=0