חישוב אינטגרל עם שני משתנים

כחלק מתרגיל בפיזיקה, אני מנסה לפתור את האינטגרל הבא:

\int^{\frac{a}{2}}_{-\frac{a}{2}}\int^{\frac{a}{2}}_{-\frac{a}{2}}\frac{dxdy}{(x^2+y^2+L^2)^{1.5}}

אשמח לעזרה עם החישוב שלו.
תודה רבה!

נשתמש בשיטת ההצבה. נסמן:

u=\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{y^2+L^2}}\right)

לכן נקבל x=\tan(u)\sqrt{y^2+L^2}. נגזור ונקבל:

dx=\frac{1}{\cos^2(u)}\sqrt{y^2+L^2}

לכן נקבל:

\begin{align*} \frac{dxdy}{(x^2+y^2+L^2)^{1.5}}&=\frac{dudy}{((\tan(u)\sqrt{y^2+L^2})^2+y^2+L^2)^{1.5}}\cdot \frac{1}{\cos^2(u)}\sqrt{y^2+L^2}\\ &=\frac{dudy}{(\tan^2(u)(y^2+L^2)+y^2+L^2)^{1.5}}\cdot \frac{1}{\cos^2(u)}\sqrt{y^2+L^2}\\ &=\frac{dudy}{((1+\tan^2(u))y^2+(1+\tan^2(u)L^2)^{1.5}}\cdot \frac{1}{\cos^2(u)}\sqrt{y^2+L^2}\\ &=\frac{dudy}{\left(\frac{1}{\cos^2(u)}y^2+\frac{1}{\cos^2(u)}L^2\right)^{1.5}}\cdot \frac{1}{\cos^2(u)}\sqrt{y^2+L^2}\\ &=\frac{dudy}{(y^2+L^2)^{1.5}}\cdot \cos(u)\sqrt{y^2+L^2}\\ &=\frac{\cos(u)}{y^2+L^2}dudy \end{align*}

מכך, נוכל להסיק כי מתקיים:

\begin{align*} \int\frac{dxdy}{(x^2+y^2+L^2)^{1.5}}&=\int\frac{\cos(u)}{y^2+L^2}dudy=\frac{dy}{y^2+L^2}\sin(u)\\ &=\frac{dy}{y^2+L^2}\sin\left(\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{y^2+L^2}}\right)\right)\\ &=\frac{dy}{y^2+L^2}\cdot\frac{\frac{x}{\sqrt{y^2+L^2}}}{\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt{y^2+L^2}} \right )^2+1}}\\ &=\frac{dy}{y^2+L^2}\cdot\frac{\frac{x}{\sqrt{y^2+L^2}}}{\sqrt{x^2+y^2+L^2}}\cdot \sqrt{y^2+L^2}\\ &=\frac{x}{(y^2+L^2)\sqrt{x^2+y^2+L^2}}dy \end{align*}

נציב את הגבולות ונקבל:

\begin{align*} \int^{\frac{a}{2}}_{-\frac{a}{2}}\frac{dxdy}{(x^2+y^2+L^2)^{1.5}}&=\frac{dy}{(y^2+L^2)}\left[\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+L^2}}\right]^{\frac{a}{2}}_{-\frac{a}{2}}\\ &=\frac{dy}{(y^2+L^2)}\left[\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{\left(\frac{a}{2} \right )^2+y^2+L^2}}-\frac{-\frac{a}{2}}{\sqrt{\left(-\frac{a}{2} \right )^2+y^2+L^2}}\right]\\ &=\frac{dy}{(y^2+L^2)}\left[\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+y^2+L^2}}+\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+y^2+L^2}}\right]\\ &=\frac{dy}{(y^2+L^2)}\frac{a}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+y^2+L^2}} \end{align*}

כעת, בצע בדיוק אותו דבר על האינטגרל הנותר, כלומר הפעל את שיטת הצבה כאשר:

u=\arctan\left(\frac{y}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+L^2}}\right)