שלום לכולם, אשמח לתשובה לשאלה שמופיעה בכותרת - מהי מטריצה סימטרית?
אשמח או תוסיפו מספר דוגמאות ופירוט.
תודה מראש וחג שמח,
בריאות לכולם.
בשביל להבין מהי מטריצה סימטרית, עלינו קודם להבין מהי פעולת השיחלוף.
הגדרה: תהא A מטריצה מסדר n\times m. המטריצה A^T נקראת המטריצה המשוחלפת של A והיא מוגדרת באופן הבא: לכל i\in[1,m] ו-j\in[1,n] מתקיים:
(A^T)_{j,i}=(A)_{i,j}
כלומר, פעולת השחלוף היא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה.
בוא נסביר את ההגדרה בעזרת דוגמה:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}\
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}^t \!\! \;\!
&= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4 \end{bmatrix}\qquad\\
\qquad
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^t \!\! \;\!
&= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;
\end{align*}
מספר תכונות של המטריצה המשוחלפת:
\begin{align*}
(A+B)^T&=A^T+B^T\\
(AB)^T&=B^TA^T\\
(\lambda A)^T&=\lambda A^T\\
(A^T)^T&=A
\end{align*}
כעת, כאשר אנו מבינים מהי המטריצה המשוחלפת ופעולת השחלוף, נוכל לדבר על המטריצה הסימטרית.
הגדרה: תהא A מטריצה ריבועית מסדר n. מטריצה A נקראת מטריצה סימטרית אם היא מקיימת A^T=A, כלומר אם לכל 1\leq i,j\leq n מתקיים a_{j,i}=a_{i,j}.
לדוגמה, המטריצה הבאה היא מטריצה סימטרית כי היא מקיימת את ההגדרה:
A=\begin{bmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 7 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 0 \end{bmatrix}
גם למטריצות הסימטריות יש מספר תכונות נחמדות:
- סכום של מטריצות סימטריות היא סימטרית.
- לכל n\in\mathbb{N} המטריצה A^n סימטרית אם A סימטרית.
- אם A^{-1} קיימת אז היא סימטרית אם"ם A סימטרית.
למען הסדר הטוב, נוסיף גם הסבר על מטריצות אנטי-סימטריות.
הגדרה: תהא A מטריצה ריבועית מסדר n. מטריצה A נקראת מטריצה אנטי-סימטרית אם היא מקיימת A^T=-A.
דוגמה למטריצה אנטי-סימטרית:
A=\begin{bmatrix} 0 & -2 & 45 \\ 2 & 0 & 4 \\ -45 & -4 & 0 \end{bmatrix}
נשים לב כי מתקיים:
-A = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 45 \\ 2 & 0 & 4 \\ -45 & -4 & 0 \end{bmatrix} = A^T
קיבלנו A^T=-A ולכן המטריצה A היא מטריצה אנטי סימטרית ע"פ ההגדרה.