נראה לי שכמעט כל השאלה מפורטת בנושא.
אני מתכוון להוכחת קיום הקבוצה הריקה באמצעות האקסיומות של ZFC. אקסיומת ההחלפה לא נותנת לי אפשרות לרוקן קבוצה קיימת בלי להוכיח שאכן קיימת קבוצה ריקה.
מציגים נוסחה X שייך ל-Y אם ורק אם X לא שווה ל-X כאשר לכל X בקבוצה המקורית קיים באופן ריק Y כזה והוא כמובן יחיד.
אז מחליפים את כל אברי הקבוצה באיבר Y.
כעת באמצעות אקסיומת האיחוד מתברר ש-Y היא קבוצה.