איך מוכיחים בלי אקסיומת הבחירה שקיימות קבוצות לא בנות בנייה

נניח שקיימת קבוצה אינסופית בת מנייה. כעת קבוצת החזקה שלה אינה בת מנייה. הטענה מבוססת על כך שאם נמנה את כל אברי הקבוצה, נוכל לבנות באמצעות הקבוצות המשתתפות במנייה קבוצה חדשה.
השאלה שלי, הרי אם נניח שכל קבוצה שאפשר לבנות, ניתן לתאר אותה באמצעות מספר סופי של סמלים. הקבוצה שתיבנה בהכרח היא בת מנייה. כי אפשר להחליף כל תיאור, במספר טבעי מתאים.
כלומר שאנו מניחים שקיימות קבוצות שאפשר לתאר רק באמצעות מספר אינסופי של פריטים. מניין לנו זאת.