פיתוח של ביטויים אלגבריים

מתמטיקה
1

שלום, איך פותרים ביטויים אלגבריים כמו אלה:
משוואה ראשונה - כאשר x,y\neq 0:

\frac{-x}{x}-\frac{y}{-y}

משוואה שנייה - כאשר n-m\neq 0:

\frac{-(m-n)}{(n-m)}

לא הבנתי בכלל. אשמח להסבר!
באפליקציית PhotoMath נכתב כי הפתרון למשוואות הוא אפס, אף כי זו לא יכולה להיות לפי תחום הגדרה.

2

אתה כנראה לא מבין את ההבדל בין לפתור משוואה לבין לפתח ביטוי. כאשר אתה פותר משוואה, אתה מוצא אילו ערכים של המשתנים יכולים להיות מוצבים כדי שהמשוואה תתקיים. לדוגמה עבור המשוואה 2x=4, אתה יכול להציב x=2 (בלבד) כדי שהמשוואה הנ"ל תתקיים. לעומת זאת, כאשר אתה מפתח ביטוי, אתה מנסה להגיע לצורה מצומצמת של הביטוי (במידה וניתן). לדוגמה, עבור המשוואה \frac{x^2+5x+6}{x+3} (כאשר x\neq -3), נוכל להשתמש בטרינום כדי לצמצמם את המכנה, באופן הבא:

\frac{x^2+5x+6}{x+3}=\frac{(x+3)(x+2)}{x+3}=x+2

במקרה זה, “אין פתרון”, אלא פשוט ביטוי מופשט יותר (אבל שקול לו).

כעת, נעבור על כל סעיף. תחילה נתבונן על המשוואה הראשונה. מאחר ונתון x\neq0 אזי נוכל לצמצם את ה-x כך שנקבל \frac{-x}{x}=-1. באותו אופן, מאחר ומתקיים y\neq 0 נובע כי ניתן לצמצם את ה-y כך שנקבל \frac{y}{-y}=-1. בסה"כ נקבל:

\frac{-x}{x}-\frac{y}{-y}=-1-(-1)=-1+1=0

שים לב כי הביטוי הצטמצם לאפס, למרות שתחום ההגדרה של x ו-y הוא שונה מאפס. לטובת השלמות, נבדוק בעזרת הצבת מספרים. לדוגמה נבחר x=1 ו-y=2 (אתה מוזמן לבחור זוג מספרים שונים ולראות שמתקבלת אותה תשובה), כך שנקבל:

\frac{-x}{x}-\frac{y}{-y}=\frac{-1}{1}-\frac{2}{-2}=-1-(-1)=-1+1=0

כעת, נתבונן על המשוואה השנייה, את הביטוי -(m-n) ניתן לכתוב באופן הבא (על-ידי פתיחת סוגריים):

-(m-n)=-m+n=n-m

לכן נקבל:

\frac{-(m-n)}{(n-m)}=\frac{n-m}{n-m}=1

כאשר המעבר האחרון נובע מכך שמתקיים n-m\neq 0 ולכן נוכל לצמצם את הביטוי n-m שמופיע במונה ובמכנה.
בהצלחה.