יהיו A ו-B זוג מטריצות ריבועיות, כך שמתקיים A=I-AB.
הוכיחו כי A מטריצה הפיכה וכי מתקיים AB=BA.
עשיתי כבר מספר שאלות בנושא, אך בזאת ניתקעתי. ניסיתי להוכיח בצורה כלשהי, ולא סגור עם זו הדרך הנכונה, אשמח להכוונה בתרגיל.
יהיו A ו-B זוג מטריצות ריבועיות, כך שמתקיים A=I-AB.
הוכיחו כי A מטריצה הפיכה וכי מתקיים AB=BA.
עשיתי כבר מספר שאלות בנושא, אך בזאת ניתקעתי. ניסיתי להוכיח בצורה כלשהי, ולא סגור עם זו הדרך הנכונה, אשמח להכוונה בתרגיל.
נראה שקצת סיבכת. אם A=I-AB אזי מתקיים A+AB=I ולכן A(I+B)=I. מכך נובע כי המטריצה A היא מטריצה הפיכה כך שמתקיים A^{-1}=I+B.
נותר להוכיח כי מתקיים AB=BA. נכפול את המשוואה A(I+B)=I ב-A^{-1} מצד שמאל, כך שנקבל:
נחשב את AB:
נחשב את BA:
מכך, נוכל להסיק כי מתקיים:
כנדרש.