כיצד להוכיח כי מטריצה היא מטריצה הפיכה?

יהיו A ו-B זוג מטריצות ריבועיות, כך שמתקיים A=I-AB.
הוכיחו כי A מטריצה הפיכה וכי מתקיים AB=BA.

עשיתי כבר מספר שאלות בנושא, אך בזאת ניתקעתי. ניסיתי להוכיח בצורה כלשהי, ולא סגור עם זו הדרך הנכונה, אשמח להכוונה בתרגיל.

נראה שקצת סיבכת. אם A=I-AB אזי מתקיים A+AB=I ולכן A(I+B)=I. מכך נובע כי המטריצה A היא מטריצה הפיכה כך שמתקיים A^{-1}=I+B.
נותר להוכיח כי מתקיים AB=BA. נכפול את המשוואה A(I+B)=I ב-A^{-1} מצד שמאל, כך שנקבל:

A^{-1}\cdot A(I+B)=A^{-1}\cdot I\Leftrightarrow I\cdot (I+B)=A^{-1}\Leftrightarrow B=A^{-1}-I

נחשב את AB:

AB=A\cdot (A^{-1}-I)=A\cdot A^{-1}-A\cdot I=I-A

נחשב את BA:

BA=(A^{-1}-I)\cdot A=A^{-1}\cdot A-I\cdot A=I-A

מכך, נוכל להסיק כי מתקיים:

AB=I-A=BA

כנדרש.