כמה פתרונות שלמים יש למשוואה: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=30 כאשר לכל i מתקיים x_{i}\geq0 וגם מתקיים:
x_{1}\leq5,\,x_{2}\leq10,\,x_{3}\leq15,\,x_{4}\leq21
נפתור בעזרת עקרון הכלה והפרדה:
- עולם: כל פתרונות השלמים האי-שליליים, של המשוואה הנתונה. זה שקול לחלוקה של 30 כדורים זהים ב-4 תאים שונים ולכן: W(0)=CC_{4}^{30}.
- תכונות: יהיו 4 תכונות רעות אשר מקיימות:
- תכונה p_{1} מקיימת x_{1}\geq6.
- תכונה p_{2} מקיימת x_{1}\geq11.
- תכונה p_{3} מקיימת x_{1}\geq16.
- תכונה p_{4} מקיימת x_{1}\geq22.
- יעד: מאחר ומדובר בתכונות רעות, עלינו למצוא את E(0).
נחשב את W(1):
\begin{cases}
W(p_{1})=CC_{4}^{24}\\
W(p_{2})=CC_{4}^{19}\\
W(p_{3})=CC_{4}^{14}\\
W(p_{4})=CC_{4}^{8}
\end{cases}
לכן נקבל:
W(1)=CC_{4}^{24}+CC_{4}^{19}+CC_{4}^{14}+CC_{4}^{8}
נחשב את W(2):
\begin{cases}
W(p_{1},p_{2})=CC_{4}^{13}\\
W(p_{1},p_{3})=CC_{4}^{8}\\
W(p_{1},p_{3})=CC_{4}^{2}\\
W(p_{2},p_{3})=CC_{4}^{3}\\
W(p_{2},p_{4})=0\\
W(p_{3},p_{4})=0
\end{cases}
לכן נקבל:
W(2)=CC_{4}^{13}+CC_{4}^{8}+CC_{4}^{2}+CC_{4}^{3}
עבור 3\leq r\leq4 נקבל W(r)=0. סה"כ נקבל:
\begin{align*}
E(0)&=\sum_{r=0}^{4}(-1)^{r}W(r)\\&=CC_{4}^{30}-\left(CC_{4}^{24}+CC_{4}^{19}+CC_{4}^{14}+CC_{4}^{8}\right)
+CC_{4}^{13}+CC_{4}^{8}+CC_{4}^{2}+CC_{4}^{3}\\
&=CC_{4}^{30}-CC_{4}^{24}-CC_{4}^{19}-CC_{4}^{14}+CC_{4}^{13}+CC_{4}^{2}+CC_{4}^{3}
\end{align*}