שלום @Elad, ברוך הבא לפורום!
אנא קרא את חוקי הפורום. במידה ואתה רוצה לקבל עזרה, עלייך:
- לפרסם כל שאלה בפוסט נפרד (גם אם הן דומות). הרצינול מאחורי חוק זה הוא כדי שבעתיד יהיה יותר קל לחפש פתרונות.
- במידה ואתה לא מכיר \LaTeX, אתה מוזמן להסתכל במדריך או לשלוח הודעה לאחד המשתמשים או המנהלים שכן יודעים. אחרת, קשה להבין את התרגיל שכתבת.
- כשאתה מפרסם שאלה, אנא הסבר מה ניסית לעשות, איפה נתקעת ואיזה כלים עומדים ברשותך. אם תשקיע את המינימום כדי להסביר זאת, אתה תקבל את מלוא העזרה.
- להשתמש במנוע החיפוש כדי לנסות למצוא תרגילים דומים. לדוגמה: כמה פתרונות שלמים יש למשוואה.
הפעם אני אעזור לך עם התרגיל, אבל בבקשה שים לב להבא!
סעיף א’
הבעיה שקולה לחלוקה של 11 כדורים ב-6 תאים שונים. לכן מספר האפשרויות הינו:
כלומר, מספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של המשוואה הנתונה הינו 4,368.
סעיף ב’
נגדיר את X_7 להיות משתנה-דמה אשר יקבל את כל הפתרונות שלא חולקו לשאר ה-X_i-ים. כלומר, הבעיה שקולה למספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של המשוואה:
בדומה לסעיף הקודם, הבעיה שקולה לחלוקה של 11 כדורים ב-7 תאים שונים. לכן מספר האפשרויות הינו:
כלומר, מספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של האי-שוויון הנתון הינו 12,376.
סעיף ג’
הבעיה שקולה למספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של המשוואה הבאה:
בדומה לסעיף הקודם, בעיה זו שקולה למספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של המשוואה (ע"י הוספת משתנה-דמה X_7):
שזה שקול לחלוקה של 10 כדורים ב-7 תאים שונים. לכן מספר האפשרויות הינו:
כלומר, מספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של האי-שוויון הנתון הינו 8,008.
סעיף ד’
נתון כי לכל 1\leq i\leq 6 מתקיים X_i\geq i ולכן נגדיר Y_i=X_i-i. לפיכך לכל 1\leq i\leq 6 מתקיים Y_i\geq0. אי-לכך, נוכל להסיק כי הבעיה שקולה למספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של המשוואה הבאה:
כלומר של המשוואה:
בדומה לסעיפים הקודמים, בעיה זו שקולה לחלוקה של 29 כדורים ב-6 תאים שונים. לכן מספר האפשרויות הינו:
כלומר, מספר הפתרונות השלמים האי-שליליים של המשוואה הנתונה הינו 278,256.