מצאו את השטח החסום על-ידי העקומה הבאה:
y^2=(1-x^2)^3
השטח החסום על-ידי העקומה y^2=(1-x^2)^3 הוא השטח החסום על-ידי העקומות y=\sqrt{(1-x^2)^3} ו-y=-\sqrt{(1-x^2)^3} כאשר -1\leq x\leq 1. לפיכך מתקיים:
S=\int_{-1}^1\left(\sqrt{(1-x^2)^3}-\left(-\sqrt{(1-x^2)^3}\right)\right)dx=2\int_{-1}^1\sqrt{(1-x^2)^3}dx
נשתמש בשיטת ההצבה. נסמן u\triangleq \sin(x). נגזור ונקבל du=\cos(x)dx. לפיכך נקבל:
S=2\int_{-1}^1\sqrt{(1-x^2)^3}dx=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4(u)du
נשתמש בזהות הבאה (ההוכחה נמצאת כאן: חישוב של אינטגרל של קוסינוס ברביעית):
\int\cos^4(x)dx=\frac{3}{8}x+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{32}\sin(4x)+C
במקרה שלנו, נקבל:
\begin{align*}
S&=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4(u)du\\
&=2\left[\left(\frac{3}{8}\cdot (\pi/2)+\frac{1}{2}\sin(2\cdot \pi/2)+\frac{1}{32}\sin(4\cdot \pi/2)\right)-\left(\frac{3}{8}\cdot (-\pi/2)+\frac{1}{2}\sin(2\cdot (-\pi/2))+\frac{1}{32}\sin(4\cdot (-\pi/2))\right)\right]\\
&=\frac{3\pi}{4}+\sin(\pi)+\frac{1}{16}\sin(2\pi)-\sin(-\pi)+\frac{1}{16}\sin(-2\pi)\\
&=\frac{3\pi}{4}
\end{align*}
לכן, השטח החסום על-ידי העקומה הנתונה y^2=(1-x^2)^3 הינו \frac{3\pi}{4}.